6个解答题综合仿真练(五)1．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin(2A＋B)＝sinC－sinB.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，求AB·AC的最大值．解：(1)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，B＝π－C－A，所以sin(2A＋B)＝sin(π－C＋A)＝sin(C－A)，sinB＝sin(C＋A)，由sin(2A＋B)＝sinC－sinB，得sin(C－A)＋sinB＝sinC，所以sin(C－A)＋sin(C＋A)＝sinC，即sinCcosA－cosCsinA＋sinCcosA＋cosCsinA＝sinC，所以2sinCcosA＝sinC.在△ABC中，sinC≠0，所以cosA＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，由(1)知A＝，又a＝2，所以22＝b2＋c2－2bc·，即4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，bc有最大值4.所以AB·AC＝bccosA≤2，此时a＝b＝c＝2，所以AB·AC的最大值是2.3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：x2＋y2＝r2(r>0)．(1)若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；(2)若圆O的半径为，点P，Q满足kOP·kOQ＝－，求直线PQ被圆O截得的弦长的最大值.解：(1)因为椭圆C的方程为＋＝1，所以A(－2,0)，F(1,0)．因为PF⊥x轴，所以P，根据对称性，可取P，则直线AP的方程为y＝(x＋2)，即x－2y＋2＝0.由圆O与直线AP相切，得r＝，所以圆O的方程为x2＋y2＝.(2)易知圆O的方程为x2＋y2＝3.①当PQ⊥x轴时，kOP·kOQ＝－k＝－，所以kOP＝±，xp＝±，此时得直线PQ被圆O截得的弦长为2.②当PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2≠0)，首先由kOP·kOQ＝－，得3x1x2＋4y1y2＝0，即3x1x2＋4(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，所以(3＋4k2)x1x2＋4kb(x1＋x2)＋4b2＝0.(*)联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，将其代入(*)式，化简得2b2＝4k2＋3.由于圆心O到直线PQ的距离d＝，所以直线PQ被圆O截得的弦长l＝2＝，故当k＝0时，l有最大值为.综上，因为>2，所以直线PQ被圆O截得的弦长的最大值为.4.如图，墙上有一幅壁画，最高点A离地面4m，最低点B离地面2m，观察者从距离墙xm(x>1)，离地面高am(1≤a≤2)的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ.(1)若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围.解：(1)当a＝1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D，则BD＝0.5m，且θ＝∠ACD－∠BCD，由观察者离墙xm，且x>1，得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝.所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝>1时取等号．又因为tanθ在上单调递增，所以当观察者离墙m时，视角θ最大．(2)由题意得tan∠BCD＝，tan∠ACD＝，又tanθ＝，所以tanθ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝＝＝.所以a2－6a＋8＝－x2＋4x，当1≤a≤2时，0≤a2－6a＋8≤3，所以0≤－x2＋4x≤3，即解得0≤x≤1或3≤x≤4.又因为x>1，所以3≤x≤4，所以x的取值范围为[3,4]．5．设fk(n)为关于n的k(k∈N)次多项式．数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.对于任意的正整数n，an＋Sn＝fk(n)恒成立．(1)若k＝0，求证：数列{an}是等比数列；(2)试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．解：(1)证明：若k＝0，则fk(n)即f0(n)为常数，不妨设f0(n)＝c(c为常数)．因为an＋Sn＝fk(n)恒成立，所以a1＋S1＝c，即c＝2a1＝2.所以an＋Sn＝2，①当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2，②...
