二一般形式的柯西不等式基础巩固1设a,b,c>0,且a+b+c=1,则√a+√b+√c的最大值是()A.1B.√3C.3D.9解析：由柯西不等式,得[(√a)2+(√b)2+(√c)2¿·(12+12+12)≥(√a+√b+√c)2. a+b+c=1,∴(√a+√b+√c)2≤3×1=3,当且仅当a=b=c¿13时,等号成立.∴√a+√b+√c的最大值为√3.答案：B2设a,b,c,x,y,z是正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a+b+cx+y+z=()A.14B.13C.12D.34解析：由柯西不等式,得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=400,当且仅当ax=by=cz=12时,等号成立,因此有a+b+cx+y+z=12.答案：C3已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析：(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(a12+a22+…+an2)(x12+x22+…+xn2)=1×1=1,当且仅当ai=xi¿√nn¿,n)时,等号成立.故a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.答案：A4已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,则a的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析：由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2¿(12+13+16)≥(b+c+d)2,即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时,等号成立.1又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的最大值是2.答案：B5n个正数的和与这n个正数的倒数的和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.1n解析：设n个正数为x1,x2,…,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+…+xn¿(1x1+1x2+…+1xn)≥(√x1·1√x1+√x2·1√x2+…+√xn·1√xn)2=(1+1+…+1⏟共n个)2=n2,当且仅当x1=x2=…=xn时,等号成立.答案：C6若x,y,z∈R+,且1x+2y+3z=1,则x+y2+z3的最小值是.答案：97设a,b,c为正数,则(a+b+c¿(4a+9b+36c)的最小值是.解析：(a+b+c¿(4a+9b+36c)=[(√a)2+(√b)2+(√c)2][(2√a)2+(3√b)2+(6√c)2]≥¿当且仅当a2=b3=c6时,等号成立.答案：1218设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析：2x+2y+z+8=02(⇒x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2;即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥(-9)29=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.答案：99已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.2解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.答案：1210设x1,x2,x3,…,xn都是正实数,且x1+x2+x3+…+xn=S.求证:x12S-x1+x22S-x2+…+xn2S-xn≥Sn-1.分析：本题需要构造出S-x1+S-x2+…+S-xn.证法一：根据柯西不等式,得不等式左边=x12S-x1+x22S-x2+…+xn2S-xn=[(S-x1)+(S-x2)+…+(S-xn)]·1(n-1)S·(x12S-x1+x22S-x2+…+xn2S-xn)¿1(n-1)S¿+(√S-xn)2¿·¿(xn√S-xn)2]≥1(n-1)S¿¿1(n-1)S¿+xn)2¿1(n-1)S·S2¿Sn-1=不等式右边.故原不等式成立.证法二： a>0,∴a+1a≥2,∴a≥2−1a,当且仅当a=1时,等号成立.∴xi2S-xi=xin-1·(n-1)xiS-xi≥xin-1·[2-S-xi(n-1)xi]=2xin-1−S-xi(n-1)2,i=1,2,…,n.n个式子相加,有x12S-x1+x22S-x2+…+xn2S-xn≥2x1n-1+2x2n-1+…+2xnn-1−[S-x1(n-1)2+S-x2(n-1)2+…+S-xn(n-1)2]=2Sn-1−nS-S(n-1)2=Sn-1.故原不等式成立.能力提升1若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为()3A.1B.6C.11D.611解析： (2x2+y2+3z2¿(12+1+13)≥(√2x·1√2+y·1+√3z·1√3)2=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥112+1+13=611,当且仅当x¿311,y=611,z=211时,等号成立.∴2x2+y2+3z2的最小值为611.答案：D2已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则2a+b+2b+c+2c+a的最小值为()A.1B.3C.6D.9解析： a+b+c=1,∴2a+b+2b+c+2c+a=2(a+b+c¿(1a+b+1b+c+1c+a)=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·(1a+b+1b+c+1c+a)≥(1+1+1)2=9,当且仅当a=b=c¿13时,等号成立.答案：D3若a12+a22+…+an2=5,则a1a2+a2a3+…+an−1an+ana1的最小值为()A.-25B.-5C.5D.25解析：由柯西不等式,得(a12+a22+…+an2)(a22+a32+…+an2+a12)≥(a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1)2,∴|a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1|≤5.∴-5≤a1a2+a2a3+…+an-1an+ana1≤5.故所求最小值为-5,应选B.答案：B4已知2x+3y+z=8,则x2+y2+z2取得最小值时,x,y,z形成...
