浙江省富阳市场口中学高三数学立体几何大题复习训练1．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)证明：BN⊥平面C1NB1；(2)求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值．2．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2.1(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．3．如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC.(1)求证：MB⊥平面ABC；(2)求二面角A1-BB1-C的余弦值．24．如图在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2.E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．31．(1)证明∵该几何体的正(主)视图为矩形，侧(左)视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．则B(0,0,0)，N(4,4,0)，B1(0,8,0)，C1(0,8,4)，C(0,0,4)．∴BN·NB1＝(4,4,0)·(－4,4,0)＝－16＋16＝0，BN·B1C1＝(4,4,0)·(0,0,4)＝0.∴NB⊥NB1，BN⊥B1C1.又NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1NB1.4(2)解∵BN⊥平面C1NB1，∴BN是平面C1B1N的一个法向量n1＝(4,4,0)，设n2＝(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，则⇒⇒所以可取n2＝(1,1,2)．则cos〈n1，n2〉＝＝＝＝.∴所求二面角CNB1C1的余弦值为.2．(1)证明因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC.所以ED⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD.所以A1C⊥平面BCDE.(2)解如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B＝0，n·BE＝0.又A1B＝(3,0，－2)，BE＝(－1,2,0)，所以令y＝1，则x＝2，z＝.所以n＝(2,1，)．设CM与平面A1BE所成的角为θ.因为CM＝(0,1，)，所以sinθ＝|cos〈n，CM〉|＝||＝＝.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)解线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]．设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·A1D＝0，m·DP＝0.又A1D＝(0,2，－2)，DP＝(p，－2,0)，所以令x＝2，则y＝p，z＝.所以m＝.平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0.解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．3．(1)证明∵侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1BB1为正三角形，又∵点M为A1B1的中点，∴BM⊥A1B1，5∵AB∥A1B1，∴BM⊥AB，由已知MB⊥AC，∴MB⊥平面ABC.(2)解如图建立空间直角坐标系，设菱形ABB1A1边长为2，得B1(0，－1，)，A(0,2,0)，C(，1,0)，A1(0,1，)．则BA1＝(0,1，)，BA＝(0,2,0)，BB1＝(0，－1，)，BC＝(，1,0)．设面ABB1A1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，由n1⊥BA，n1⊥BA1得，令x1＝1，得n1＝(1,0,0)．设面BB1C1C的法向量n2＝(x2，y2，z2)，由n2⊥BB1，n2⊥BC得令y2＝，得n2＝(－1，，1)，得cos〈n1，n2〉＝＝＝－.又二面角A1BB1C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.4．(1)证明∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解如图，以C为原点，DA、CD、CP分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)．设P(0,0，a)(a＞0)，则E，－，，CA＝(1,1,0)，CP＝(0,0，a)，CE＝，－，，取m＝(1，－1,0)，则m·CA＝m·CP＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA＝n·CE＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，PA＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.67
