第一章3.23.2.2复数代数形式的乘除运算A级基础巩固一、选择题1．(2017·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(A)A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i[解析]本题考查复数的乘法，复数的几何意义．∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A．3．(2018·遂宁模拟)已知复数z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，则复数z的共轭复数＝(B)A．2＋iB．2－iC．－2＋iD．－2－i[解析]∵z＝a＋i，∴z＋＝2a＝4，得a＝2．∴复数z的共轭复数＝2－i．故选B．4．(2018·长安一中质检)设z＝＋i(i是数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝(C)A．6zB．6z2C．6zD．－6z[解析]z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6z．二、填空题5．(2018·浦东新区一模)已知i是虚数单位，复数z满足z·(1＋i)，则|z|＝．[解析]∵复数z满足z·(1＋i)＝1，∴z(1＋i)(1－i)＝1－i，化为4z＝1－i，即z＝－i，∴|z|＝＝．故答案为．6．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝．[解析]∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，1∴z2＝z1＝2－i，∴|z2|＝．三、解答题7．设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai．由复数相等的定义得，由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0．B级素养提升一、选择题1．若z＝4＋3i，则＝(D)A．1B．－1C．＋iD．－i[解析]|z|＝＝5，＝4－3i，则＝－i．2．(2018·西宁高二检测)复数为纯虚数，则实数a＝(D)A．－2B．－C．2D．[解析]因为复数＝＝为纯虚数，所以2a－1＝0,2＋a≠0．解得a＝．二、填空题3．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是－2．[解析](1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2．4．(2018·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝1．[解析]因为(3－4i)z＝4＋3i，所以z＝＝＝＝i．则|z|＝1．三、解答题5．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1．(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．[解析]设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i．因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a．由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是[－，]．(2)ω＝＝＝＝－i．因为a∈[－，]，b≠0．所以ω为纯虚数．6．已知z为虚数，z＋为实数．(1)若z－2为纯虚数，求虚数z．2(2)求|z－4|的取值范围．[解析](1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，则z－2＝x－2＋yi，由z－2为纯虚数得x＝2，所以z＝2＋yi，则z＋＝2＋yi＋＝2＋(y－)i∈R，得y－＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i．(2)因为z＋＝x＋yi＋＝x＋＋[y－]i∈R，所以y－＝0，因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，由(x－2)2<9得x∈(－1,5)，所以|z－4|＝|x＋yi－4|＝＝＝∈(1,5)．3
