专题能力提升练五数学文化与核心素养(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.fB.fC.fD.f【解析】选D.由已知,单音的频率构成一个首项为f,公比为的等比数列,记为{bn},共有13项.由等比数列通项公式可知,b8=b1q7=f×()7=f.【加固训练】1.(2018·河南省新乡市高考数学二模试卷)我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱,今合买好、坏田1顷,价值10000钱.问好、坏田各有多少亩?”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中S的单位为钱,则输出的x,y分别为此题中好、坏田的亩数的是()【解析】选B.1顷=100亩,设好田x亩,坏田为y亩,则由题意可得:坏田y=100-x,依题意有:S=300x+y=10000,故C错误;可得:300x+-x=10000,x=,解得:x=12.5,坏田y=100-12.5=87.5(亩).由于:x的初值为0.5,终值为12.5,设其步长值为d,则由12.5=0.5+(n-1)d,可得:n=+1∈Z,可得:变量x每次增加的步长值d为12的因数,故A,D错误,B正确.2.(2018·豫南九校一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”可用如图所示的程序框图解决此问题.现执行该程序框图,输入的d的值为33,则输出的i的值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选C.方法一:i=0,s=0,x=1,y=1开始执行,然后可得:i=1,s=1+1,x=2,y=…i=5,s=(1+2+4+8+16)+<33,x=32,y=,再执行一行,然后输出i=6.方法二:本题要解决的问题是数列求和的问题,a1=1+1,a2=2+,…,an=2n-1+(n≥2),可得:a1+a2+…an≥33,解得n的最小值为6.2.数的概念起源于大约300万年前的原始社会,如图1所示,当时的人类用在绳子上打结的方法来记数,并以绳结的大小来表示野兽的大小,即“结绳计数”,图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量,在从右向左依次排列的绳子上打结,右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结,请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为()A.336B.510C.1326D.3603【解析】选B.由题意,所擒获猎物的数量满七进一,可得该图示为七进制数,化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510.3.(2018·益阳一模)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的边长是m,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么,试问,侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn,则()A.Sn无限大B.Sn<3(3+)mC.Sn=2(2+)mD.Sn可以取100m【解析】选B.由题意,外围第一个正方形的边长是m,可得:内层第二个正方形边长为=m;第三个正方形边长为=m;……第n个正方形边长为m,那么蜘蛛网的长度为Sn=4×m<4m×=(9+3)m.4.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.如图中实心点的个数5,9,14,20,…为梯形数.根据图形的构成,记此数列的第2017项为a2017,则a2017-5=()A.2023×2017B.2023×2016C.1008×2023D.2017×1008【解析】选C.观察梯形数的前几项,得5=2+3=a1,9=2+3+4=a2,14=2+3+4+5=a3,…an=2+3+…+(n+2)==(n+1)(n+4),由此可得a2017=×2018×2021=1009×2021.a2017-5=(1008+1)(2023-2)-5=1008×2023.5.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中虚线平分矩形的面积,则该“堑堵”的外接球的表面积为()A.2πB.8πC.πD.6+4π【解析】选B.根据几何体的三视图,得到:该几何体是一个倒放的底面为直角三角形,高为2的直三棱柱.故直角三角形的直角边为.所以:该几何体的外接球直径为=2,所以:R=,故S=...
