第四节基本不等式【最新考纲】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)4．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)≥(a，b∈R)．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.()(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.()(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．()(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82解析：xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．答案：C3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析： a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C当a<0，b<0时，明显错误．对于D， ab>0，∴＋≥2＝2.答案：D4．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)．答案：C5．一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．解析：设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．答案：15一种方法基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．两个变形基本不等式的变形1.≥≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；2.≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．三点注意1．使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．2．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．3．多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．一、选择题1．已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为()A．－1B．0C．1D．2解析：由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．答案：C2．(2015·陕西卷)设f(x)＝lnx，0
pD．p＝r>q解析：因为b>a>0，故>.又f(x)＝lnx(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝ln＝p.答案：B3．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为()A．8B．4C．1D.解析：由题意可知3＝3a·32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”．答案：A4．(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则()A．Rb>1，∴lga>lgb>0，(lga＋lgb)>，即Q>P. >，∴lg>lg＝(lga＋lgb)＝Q，即R>Q，∴P
