【高考新坐标】2016届高考数学总复习第二章第10节变化率与导数、导数的计算课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．(2015·东营调研)已知f(x)＝x(2014＋lnx)，f′(x0)＝2015，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e[解析]因为f(x)＝2014x＋xlnx，所以f′(x)＝2014＋lnx＋1＝2015＋lnx，又因为f′(x0)＝2015，所以2015＋lnx0＝2015，解得x0＝1.[答案]B2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4[解析]f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.[答案]D3．(2015·泰安联考)已知定义在R上的函数f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是()A．y＝2x－1B．y＝x＋1C．y＝3x－2D．y＝－2x＋3[解析]令x＝0，得f(0)＝1.f′(x)＝ex＋2x－1＋cosx，令x＝0，得f′(0)＝1.故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.[答案]B4．(2014·课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3[解析]令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.[答案]D5．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.[解析]∵y＝f′(x)是二次函数，图象开口向上，且顶点(1，)，∴f′(x)≥f′(1)＝，∴由导数的几何意义，k＝tanα≥，故倾斜角α的取值范围是.[答案]B二、填空题6．(2014·广东高考)曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．[解析]因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，即5x＋y－3＝0.[答案]5x＋y－3＝07．(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．[解析]令ex＝t，则x＝lnt，所以f(x)＝lnx＋x，即f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.[答案]28．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝alnx，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为________．[解析]由题意可知f′＝x－＝g′＝，可得a＝，经检验，a＝满足题意．[答案]三、解答题9．已知函数f(x)＝的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式．[解]由已知得，－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f′(x)＝＝，∴解得∴f(x)＝.10．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－lnx)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解]根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.因为f′(1)＝g′(1)，则a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，化简得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．[B级能力提升练]1．若函数f(x)＝2x＋lnx且f′(a)＝0，则2aln2a＝()A．1B．－1C．－ln2D．ln2[解析]f′(x)＝2xln2＋，由f′(a)＝2aln2＋＝0，得2aln2＝－，则a·2a·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.[答案]B2．(2015·济南质检)点P0(x0，y0)是曲线y＝3lnx＋x＋k(k∈R)图象上一个定点，过点P0的切线方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为________．[解析]y′＝＋1，且过点P0的切线为4x－y－1＝0.∴y′|x＝x0＝＋1＝4，∴x0＝1.因此切点P0(1，3)．又点P0(1，3)在曲线y＝3lnx＋x＋k上，∴3＝3ln1＋1＋k，则k＝2.[答案]23．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解](1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
