公理4及等角定理的应用高考频度:★★☆☆☆难易程度:★★☆☆☆典例在线如图所示,在三棱锥中,分别是边的中点.(1)求证:四边形是平行四边形;(2)若,求证:四边形是菱形;(3)当与满足什么条件时,四边形是正方形.【参考答案】(1)详见解析.(2)详见解析.(3)详见解析.(3)由(2)知,当时,四边形是菱形,欲使是正方形,还需∠EFG=90°,而∠EFG与异面直线AC,BD所成的角有关,故还要加上条件.故当且时,四边形是正方形.【解题必备】证明两条直线平行,既可以利用平面几何的相关知识,如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质等,也可以利用公理4.证明两个角相等的常用方法:(1)三角形相似;(2)三角形全等;(3)空间等角定理.依据等角定理证明两角相等的步骤:(1)证明两个角的两边分别对应平行;(2)证明两个角的两边的方向都相同或者都相反.学霸推荐1.如图(1)所示,梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来(如图(2)),使CD达到C'D'的位置,G,H分别为AD',BC'的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.(1)(2)2.如图所示,已知棱长为a的正方体中,M,N分别是棱的中点.(1)求证:四边形是梯形;(2)求证:1.【解析】在图(1)中,∵四边形ABCD为梯形,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,∴EF∥AB且EF=(AB+CD).在图(2)中,∵C'D'∥EF,∴C'D'∥AB.∵G,H分别为AD',BC'的中点,∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),∴GH∥EF,∴四边形EFGH为平行四边形.∴四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补,而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,∴∠DNM=∠D1A1C1.