公理4及等角定理的应用高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线如图所示，在三棱锥中，分别是边的中点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求证：四边形是菱形；（3）当与满足什么条件时，四边形是正方形.【参考答案】（1）详见解析.（2）详见解析.（3）详见解析.（3）由（2）知，当时，四边形是菱形，欲使是正方形，还需∠EFG＝90°，而∠EFG与异面直线AC，BD所成的角有关，故还要加上条件.故当且时，四边形是正方形．【解题必备】证明两条直线平行，既可以利用平面几何的相关知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质等，也可以利用公理4.证明两个角相等的常用方法：（1）三角形相似；（2）三角形全等；（3）空间等角定理.依据等角定理证明两角相等的步骤：（1）证明两个角的两边分别对应平行；（2）证明两个角的两边的方向都相同或者都相反.学霸推荐1．如图(1)所示,梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来(如图(2)),使CD达到C'D'的位置,G,H分别为AD',BC'的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.(1)(2)2．如图所示，已知棱长为a的正方体中，M，N分别是棱的中点.(1)求证：四边形是梯形；(2)求证：1．【解析】在图(1)中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E,F分别为BC,AD的中点，∴EF∥AB且EF=(AB+CD).在图(2)中,∵C'D'∥EF,∴C'D'∥AB.∵G,H分别为AD',BC'的中点,∴GH∥AB且GH=(AB+C'D')=(AB+CD),∴GH∥EF,∴四边形EFGH为平行四边形.∴四边形MNA1C1是梯形.（2）由（1）知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.
