第二节三角函数的图象和性质三角函数的性质考向聚焦高考重点考查内容,主要考查:(1)利用三角函数的图象和性质,求解简单三角函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性等问题.(2)结合两角和与差的公式、倍角公式等知识先化简再求函数的上述性质.一般以客观题的形式出现,难度中低档,所占分值4~5分备考指津训练题型:(1)根据三角函数的性质确定解析式中的参数,再确定函数其他的性质.(2)对函数解析式进行化简再求函数性质,注重化简的方法技巧,做到快速准确1.(年湖南卷,理6,5分)函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为()(A)[-2,2](B)[-,](C)[-1,1](D)[-,]解析:f(x)=sinx-cos(x+)=sinx-cosx+sinx=sinx-cosx=sin(x-),所以函数f(x)的值域为[-,],故选B.答案:B.在研究三角函数性质(单调区间、周期性、值域等)时,先通过三角恒等变换把函数变为f(x)=Asin(ωx+)+k的形式,再讨论其性质.2.(年天津卷,理2,5分)设φ∈R,“则φ=0”“是f(x)=cos(x+φ)(x∈R)”为偶函数的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:本小题主要考查三角函数的奇偶性,属容易题.φ=0时,f(x)=cosx,显然是偶函数;而f(x)=cos(x+φ)是偶函数时,φ=kπ(k∈Z),φ不一定等于0.故选A.答案:A.3.(年新课标全国卷,理9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)单调递减,则ω的取值范围是()(A)[,](B)[,](C)(0,](D)(0,2]解析:由三角函数单调性考查参数ω范围,略有难度. ω>0,∴由2kπ+≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得f(x)单调减区间为[,],k∈Z.又 f(x)在(,π)上单调递减,∴即,由ω>0及k∈Z知,只能k=0,即≤ω≤.答案:A.4.(年上海数学,理18,5分)设an=sin,Sn=a1+a2+…+an.在S1,S2,…,S100中,正数的个数是()(A)25(B)50(C)75(D)100解析:易知a1,a2,a3,…,a25均为非负值,且|a26|<|a24|,同理,|a27|<|a23|,…,|a49|<|a1|,而Sn=sin+sin+sin+…+sin,所以S1,S2,S3,…,S100均为正数,故选D.答案:D.5.(年山东卷,理6)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω等于()(A)3(B)2(C)(D)解析:据条件可知,f(x)=sinωx在x=处取得最大值1,即sin=1,∴=2kπ+(k∈Z).∴ω=6k+,k∈Z,结合选项得ω=,故选C.答案:C.6.(年安徽卷,理9)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是()(A)[kπ-,kπ+](k∈Z)(B)[kπ,kπ+](k∈Z)(C)[kπ+,kπ+](k∈Z)(D)[kπ-,kπ](k∈Z)解析:由f(x)≤|f()|对x∈R恒成立知x=时,f(x)取得最值,故+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又f()>f(π),即sinφ<0,∴φ=(2k+1)π+(k∈Z),∴f(x)=-sin(2x+),令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.故选C.答案:C.7.(年陕西卷,理3)对于函数f(x)=2sinxcosx,下列选项中正确的是()(A)f(x)在(,)上是递增的(B)f(x)的图象关于原点对称(C)f(x)的最小正周期为2π(D)f(x)的最大值为2解析:f(x)=sin2x为奇函数,其图象关于原点对称,故选B.答案:B.8.(年北京卷,理15,13分)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)由sinx≠0,∴x≠kπ(k∈Z),∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}.又 f(x)==2cosx(sinx-cosx)=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1.∴f(x)的最小正周期T==π.(2)函数y=sinx的递增区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z),由2kπ-≤2x-≤2kπ+,且x≠kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+,且x≠kπ(k∈Z),∴f(x)的递增区间为[kπ-,kπ),(kπ,kπ+](k∈Z).9.(年天津卷,理15,13分)已知函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x-1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos-cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin(2x+),故f(x)的最小正周期T==π.(2) x∈[-,],∴2x+∈[-,],∴sin(2x+)∈[-,1],∴f(x)=sin(2x+)∈[-1,],∴f(x)max=,f(x)min=-1.本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式,利用上述公式化简三角函数为y=Asin(ωx+φ)形式,进而研究三角函数的周期、值域等基础知识,属容易题.10.(年湖北卷,理17,12分)已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π...