2.3.1数学归纳法VIP免费

2.3数学归纳法你能证明这个猜想是正确的吗？引例在数列{}中,（1）求的值；（2）试猜想该数列的通项公式．na111nnnaaaa，1432aaa，，212anan1313a414a创设情境多米诺骨牌游戏思考回答：1.第1块骨牌倒下后，其他骨牌是如何倒下的？2.如果任给n块骨牌排成一列，要保证所有骨牌全部倒下，需要满足哪些条件？总结：任给n块骨牌全部倒下的条件：（2）第k块骨牌倒下导致第k+1块骨牌倒下.（2）任意一块骨牌倒下导致它的后一块骨牌倒下．（1）第1块骨牌倒下；如何用数学语言表述“任意一块”和“它的后一块”？探究原理第k块骨牌倒下导致第k+1块骨牌倒下．第一块骨牌倒下1234kK+1…………奠基递推关系第一项成立若第k项成立，则第k+1项成立．n=1时11a如果n=k时猜想成立即……那么当n=k+1时猜想也成立,即猜想成立kak1111kak（1）n=1时命题成立（2）假设n=k时命题成立验证n=k+1时命题成立由上述两步知命题对于任意正整数n成立数学归纳法n=1命题成立n=2命题成立n=3命题成立n=4命题成立n=5命题成立……(2)证明递推关系(1)证明起点类比抽象、形成概念一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；（2）归纳递推：假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法数学归纳法学习新知数学归纳法：引例在数列{}中,（1）求的值；（2）试猜想该数列的通项公式．na111nnnaaaa，1432aaa，，nan1:猜想这就是说当时等式成立，所以时等式成立.1kn*Nn224621nnn下面两位同学的猜想和推证是否正确，并指出原因.1.甲同学猜想：kn证明：假设时，等式成立，126422kkk就是122642kk1212kkk2111kk那么思考没有验证首项，缺“归纳奠基”的步骤！1111223(1)1nnnn2.乙同学猜想：11122211111111223(1)1kkkk(1)当n=1时,左边=,右边=(2)假设n=k(kN*)∈时等式成立，那么n=k+1时,即n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)知,对一切nN*,∈等式成立.1)1(1211)2111()3121()211(kkkkk=右边,左边证明：没有用到归纳假设！等式成立)2)(1(11kkkk)2)(1(1)1(1321211kkkk21)2)(1(1)2(kkkkkk③递推是关键：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设，找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清应增加的项.用数学归纳法证明命题的注意事项：①两个步骤、一个结论缺一不可②验证是基础：在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应根据具体情况而定.例题讲解例1.用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn*.nN其中2*1427310(31)(1),nnnnnN用数学归纳法证明练习例题讲解例2.已知数列计算,根据计算的结果,猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.nS1234S,S,S,S1111,,,,,1×44×77×10(3n-2)(3n+1)121324311解：当n=1时，s==1×4412当n=1时，s=s+=4×7713当n=1时，s=s+=7×101014当n=1时，s=s+=10×1313nn猜想：s=3n+1课堂小结数学思想：数学方法：数学知识：数学归纳法(要点:两个步骤一个结论)数学归纳法:证明与正整数有关的命题类比思想作业布置1.书P96A组1（写暗线本）2.金版P62思考尝试、类型1P64A级1-811113212224nnnnnk1nk1、用数学归纳法证明不等式时的过程中，由到时，不等式的左边（）121k121k11kA、增加了一项B、增加了一项，又减少了一项11,2121kk11,2121kk11kC、增加了两项D、增加了两项，又减少了一项D课后练习2、已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设时命题真，则还要用归纳假设再证（）111111112234242nnnn(2,)nkkk偶A.时等式成立1nkB.时等式成立2nkC.时等式成立22nkD.时等式成立2(2)nkB课后练习3、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)课后练习