七年级下压轴题专题训练11．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，E为BC上一点，且AB=CE，CD=BE．（1）求证：∠AED=90°；（2）若EN平分∠AED交AD于N，试判断△BCN的形状并证明；（3）在（2）问的条件下，猜想：△MBC与四边形ABCD的面积有何数量关系？并说明理由．（1）证明： AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE=∠ECD=90°， 在△ABE和△ECD中，AB=CE∠ABE=∠ECDCD=BE，∴△ABE≌△ECD（SAS），∴∠AEB=∠EDC， ∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°；（2）解：△BCN为等腰直角三角形，证明： △ABE≌△ECD，∴AE=DE，∠BAE=∠DEC， ∠AED=90°，∴△AED为等腰直角三角形， EN平分∠AED，∴∠NED=∠NAE=45°，EN⊥AD，∴∠BAN=∠CEN，AN=EN， 在△BAN和△CEN中，AB=EC∠BAN=∠CENAN=EN，∴△BAN≌△CEN（SAS），∴NB=NC，∠ANB=∠ENC， ∠ANB+∠BNE=90°，∴∠ENC+∠BME=90°，∴△BNC为等腰直角三角形；（3）解：2S△BNC=S梯形ABCD．理由如下：作NM⊥BC， △AED为等腰直角三角形，EN平分∠AED，∴N点为AD的中点， AB⊥BC，CD⊥BC，NM⊥BC，∴AB∥CD∥MN，∴M点为BC的中点，∴MN为梯形ABCD的中位线，NE⊥BC，∴S△BNC=BC?NE?1/2，S梯形ABCD=BC?NE，∴2S△BNC=S梯形ABCD．2．已知x，y满足（x+2y）（x-2y）=-5(y2-56)，2x(y-1)+4(21x-1)=0．求（1）（x-y）2；（2）x4+y4-x2y2．解： （x+2y）（x-2y）=-5（y2-6/5），∴x2-4y2=-5y2+6，∴x2+y2=6， 2x（y-1）+4（1/2x-1）=0，∴2xy-2x+2x-4=0，∴xy=2，（1）（x-y）2=x2+y2-2xy=6-4=2；（2）x4+y4-x2y2=（x2+y2）2-2x2y2-x2y2=（x2+y2）2-3x2y2=36-3×4=24．3．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，点P从A点出发沿AD边向点D移动，点Q自A点出发沿A→B→C的路线移动，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于线段PQ右侧部分的面积为S．（1）分别求出点Q位于AB、BC上时，S与x之间函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？（3）在（2）的条件下，设线段PQ与梯形ABCD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图2说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，其一定平分梯形的面积？（只要求说出条件，不需证明）解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因为PQ∥DC，所以QP=AQ，当x≤12时，SAQP=12x×23x=13x2，当x＞12时，S梯形=SABP+S平行四边形=48+（x-12）×8，所以S△APQ=13x2(x≤12)S梯形=S△APQ+S平行四边形=48+(x-12)×8(12＜x≤20)；（2）S梯形=12（8+20）×8=112，当线段PQ将梯形ABCD分成面积相等的两部分时，即48+（x-12）?8=56，解之得，x=13．（3）如图所示，①过点B作BM∥PQ，由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，FN=12AM=6，ON=PM=1，所以OF=7=OE．研究发现，当直线L经过梯形中位线的中点且与较短的底（上底）相交时，它一定平分梯形的面积．4．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．5．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）．解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°所以△ACD是等边三角形 CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°所以△ECB是等边三角形 AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE又 ∠ACD=∠BCE∴∠ACE=∠BCD AC=DC，CE=BC∴△ACE≌△DCB∴∠EAC=∠BDC∠AFB是△ADF的外...
