双曲线及其标准方程(公开课)VIP免费

音乐问题1：椭圆的定义是什么？平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。问题2：椭圆的标准方程是怎样的?)0(1)0(122222222babxaybabyax，，关系如何？abc222cba问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（大于0且小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距。通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)；常数记为2a(a>0).问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？一、双曲线的定义①①如图如图(A)(A)，，|MF|MF11|-|MF|-|MF22|=|F|=|F22F|=2F|=2aa②②如图如图(B)(B)，，|MF|MF11|-|MF|-|MF22|=|F|=|F11F|=-2F|=-2aa由①②可得：由①②可得：||MF||MF11||--|MF|MF22||=2||=2aa（（差的绝对值差的绝对值））上面两条曲线上面两条曲线合起来叫做合起来叫做双曲线双曲线,,每一条叫做双曲线每一条叫做双曲线的一支。的一支。看图分析动点M满足的条件：①若2a=2c,则轨迹是什么？②若2a>2c,则轨迹是什么？③若2a=0,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线F1F2F1F2分3种情况来看：问题4:定义中为什么强调常数2a要大于0且小于|F1F2|（0<2a<2c）？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？二、双曲线标准方程的推导①建系1F2F使x轴经过两焦点F1,F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线。xyO②设点设是双曲线上任一点，),(yxMM焦距为2c(c>0)，那么焦点F1(-c,0),F2(c,0)又设|MF1|与|MF2|的差的绝对值等于常数2a。③列式aMFMF221即aycxycx22222aycxycx22222将上述方程化为：aycxycx22222移项两边平方后整理得：222ycxaacx两边再平方后整理得：22222222acayaxac由双曲线定义知：ac22即：ac022ac设0222bbac代入上式整理得：122222acyax两边同时除以得：222aca)0,0(12222babyax④化简这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)，F2(c，0).其中c2=a2+b2.MUSIC类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)，F2(0，c).)0,0(12222babxay)0,0(12222babyax三.双曲线两种标准方程的特征比较①方程左边用“－”号连接。②分母是；大小不定；a在前符号为“+”，b在后符号为“－”。(a“+”b“－”)22,baba,③222bac④如果的系数是正的，则焦点在轴上；如果的系数是正的，则焦点在轴上。(焦点在系数为正的轴上)2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及焦点坐标。cba,,)0,0(1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：)0,6).(0,6(6,2,21cba)0,2).(0,2(2,2,22cba)6,0).(6,0(6,2,23cba)0,).(0,(,,4nmnmnmcnbma题后反思：先化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。变式训练解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0,0(12222babyax因此，双曲线的标准方程为.191622yx题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量。两条射线轨迹不存在例1、已知双曲线的焦点F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。1.若|PF1|-|PF2|=8呢？2.若||PF1|-|PF2||=10呢？3.若||PF1|-|PF2||=12呢？)0.(191622xyx所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5那么b2=c2-a2=25-16=9根据已知条件，|F1F2|=10.||PF1|-|PF2||=8，求适合下列条件的双曲线的标准方程。①焦点在轴上，；②焦点在轴上，经过点xx3,4ba)2,315(),3,2(答案:①191622yx)0,0(12222babyax②设双曲线的标准方程为代入点得)2,315(),3...