课时分层作业(十五)导数与函数的单调性(建议用时：40分钟)一、选择题1．函数y＝x＋xlnx的单调递减区间是()A．(－∞，e－2)B．(0，e－2)C．(e－2，＋∞)D．(e2，＋∞)B[因为y＝x＋xlnx，所以定义域为(0，＋∞)．令y′＝2＋lnx<0，解得00，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则()A．a≤0B．a<1C．a<2D．a≤A[f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.]4．已知函数f(x)＝＋lnx，则有()A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A[因为在定义域(0，＋∞)上，f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)1C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)B[构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)>2x＋4⇔g(x)>0⇔g(x)>g(－1)，∴x>－1.]二、填空题6．函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为_________.[令f′(x)＝1－2cosx>0，则cosx<，又x∈(0，π)，解得0，得a2>1，解得a<－1或a>1.]8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．(0，＋∞)[若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.]三、解答题9．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．[解]因为f′(x)＝3x2－2mx，令f′(x)<0，即3x2－2mx<0.由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.由根与系数的关系，得－＝－9，即m＝－.所以f′(x)＝3x2＋27x.令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．10．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[解]由题意可知a<0，b<0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′>0得3ax2＋2bx>0，∴－0，∴函数y＝ax3＋bx2＋5的单调递增区间为，单调递减区间为和(0，＋∞)．11．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是()D[由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，即y＝(x)，y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相等，知选D.]12．(多选题)设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当af(b)g(b)B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(b)>f(b)g(x)D．f(a)g(b)>f(b)g(a)CD[因为′＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)，f(a)·g(b)>g(a)f(b)．因此选CD.]13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．3[f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．法一：由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，...
