3.6直线与平面、平面与平面所成的角[A基础达标]1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则斜线l与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.因为直线与平面所成角的范围是，所以l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°.2．已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C.如图所示建立空间直角坐标系，则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，A′C＝(a，a，－a)，DE＝，cosA′C，DE＝＝.3．已知三条射线PA，PB，PC的两两夹角都是60°，则二面角APBC的余弦值为()A.B.C.D.解析：选A.在PA、PB、PC上取点D、E、F使得PD＝PE＝PF，可知三棱锥DPEF为正四面体，取PE中点H，连接DH，FH，得∠DHF为二面角APBC的平面角，设PF＝a，PE＝b，PD＝c，则HD＝HP＋PD＝－b＋c，HF＝HP＋PF＝－b＋a，cos〈HD，HF〉＝＝.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A．120°B．45°C．150°D．60°解析：选B.以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，EB＝(1，0，－1)，EC＝(1，1，－1)．设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，则有可取n＝(1，0，1)．又平面EAD的法向量为AB＝(1，0，0)，所以cos〈n，AB〉＝＝，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.5．在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A.B.1C.D.解析：选D.不妨设AB＝BC＝PA＝2，因为OP⊥底面ABC，所以PO＝.根据题意，以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，P(1，1，)．因为点O，D分别是AC，PC的中点，所以OD＝AP＝(－，，)．又BC＝(0，2，0)，BP＝(1，1，)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则，即，取n＝(－，0，1)，所以cos〈n，OD〉＝＝，所以sinθ＝(θ为OD与平面PBC所成的角)，故选D.6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A1P＝x，则O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，OP＝(1，x－1，2)，BM＝(－2，0，1)．所以OP·BM＝0，所以直线BM与OP所成的角为.答案：7．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．解析：由题意得AB＝(－1，2，0)，AC＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由，知.令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量2为OC＝(0，0，3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝.答案：8．正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为________．解析：设三棱柱的棱长为1，以B为原点建立空间直角坐标系，如图，则C1(0，1，1)，A，则AC1＝.易知平面BB1C1C的一个法向量n＝(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AC1〉|＝＝，所以cosθ＝＝.答案：9.如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．解：由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，连接PQ，则PQ过点O，所以AC⊥BD.由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则P(0，0，1)，A(2，0，0)，Q(0，0，－2)，B(0，2，0)，所以AQ＝(－2，0，－2)，PB＝(0，2，－1)．于是cos〈AQ，PB〉＝＝，所以异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.10.如图，在四棱锥PABCD中，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，AB＝BC＝AD＝1，cos∠ADB＝，AD∥BC，AD
