3.2.2函数的和、差、积、商的导数[基础达标]1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln3，则f′(x)＝________.解析：f′(x)＝(x3)′＋(3x)′＋(ln3)′＝3x2＋3xln3＋0＝3x2＋3xln3.答案：3x2＋3xln32．设y＝－2exsinx，则y′＝________.解析：y′＝－2[(ex)′sinx＋ex(sinx)′]＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．答案：－2ex(sinx＋cosx)3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是________．解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.答案：4.已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.,解析：∵f(x)＝(x2－4)(x－a),＝x3－ax2－4x＋4a，,∴f′(x)＝3x2－2ax－4.,又∵f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝.答案：5.函数y＝的导数是________．解析：y′＝′＝＝.答案：6.设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.解析：∵y＝＝1＋，∴y′＝－.∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k＝－.∴－a＝2，即a＝－2.答案：－27．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；(3)y＝x－sincos；(4)y＝；(5)y＝2xcosx－3xlog2014x；(6)y＝.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4·x－＝1－2x－.(3)∵y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.(4)y′＝＝＝.(5)y′＝(2x)′cosx＋(cosx)′2x－3[x′log2014x＋(log2014x)′x]＝2xln2·cosx－sinx·2x－3[log2014x＋(log2014e)x]＝2xln2·cosx－2xsinx－3log2014x－3log2104e.(6)y＝＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.8．求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x－2，故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－，1故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y－＝－(x＋)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.[能力提升]1．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.解析：∵f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，将x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.答案：62．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．解析：依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.答案：43．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)由7x－4y－12＝0得y＝x－3.当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①，②得解之得.故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.2
