第2讲空间向量与立体几何1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．(1)若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．解：以{AB，AD，AA1}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2λ)．(1)当λ＝时，AP＝(1,2,2)，AQ＝(2,0,1)，所以cos〈AP，AQ〉＝＝＝.所以AP与AQ所成角的余弦值为.(2)AA1＝(0,0,2)，AQ＝(2,0,2λ)．设平面APQ的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.所以n＝(2λ，2－λ，－2)．又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos〈n，AA1〉|＝＝＝，可得5λ2－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝.2．(2019·宿迁期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，BB1＝2，点D在棱BB1上，且C1D⊥AB1.(1)求线段B1D的长；(2)求二面角DA1CC1的余弦值．解：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，则以{C1A1，C1B1，C1C}为基底构建如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，A(1,0,2)，B1(0,1,0)，C1(0,0,0)，B(0,1,2)，C(0,0,2)，所以AB1＝(－1,1，－2)，设B1D＝t,0≤t≤2，则D(0,1，t)，C1D＝(0,1，t)．(1)由C1D⊥AB1，得C1D·AB1＝0，所以1－2t＝0⇒t＝，所以B1D＝.(2)易知平面A1C1C的一个法向量为C1B1＝(0,1,0)，设平面A1CD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由(1)知A1D＝，A1C＝(－1,0,2)，因为所以取z＝2，则y＝3，x＝4，所以n＝(4,3,2)，所以cos〈n，C1B1〉＝＝.所以二面角DA1CC1的余弦值为.3.如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，已知∠BAD＝∠CDA＝90°，AD＝CD＝2，AB＝1，SA＝SD，且平面SAD⊥平面ABCD.(1)当SA⊥SD时，求直线SA与平面SBC所成角的正弦值；(2)若平面SBC与平面SAD所成角的大小为，求SA的长．解：(1)取AD中点O，连结SO.因为SA＝SD，所以SO⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO⊂平面SAD，所以SO⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，由条件可得，A(1,0,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，C(－1,2,0)．所以SA＝(1,0，－1)，SB＝(1,1，－1)，BC＝(－2,1,0)．设平面SBC的法向量n＝(x，y，z)，则所以取n＝(1,2,3)．设直线SA与平面SBC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈SA，n〉|＝＝.(2)设SO＝a，则S(0,0，a)，所以SB＝(1,1，－a)，平面SBC的法向量n＝(x，y，z)满足取n＝.取平面SAD的法向量n′＝(0,1,0)，所以cos＝＝，解得a＝，所以SA＝2.4.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2)求二面角BPDA的余弦值．解：(1)以{AB，AD，AP}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．设C(1，y,0)，则PB＝(1,0，－1)，CD＝(－1,1－y,0)．因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos〈PB，CD〉|＝＝，即＝，解得y＝2或y＝0(舍)，所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1＝(x，y，z)．因为PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,1，－1)，则即令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1)．因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.5．(2019·苏州调研)如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)因为AE⊥AB，AE∥BP，所以BP⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABPE，平面ABCD∩平面ABPE＝AB，所以BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，所以直线BA，BP，BC两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BP，BC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，B(0,0,0)，D(2,0,1)，E(2,1,0)，C(0,0,1)，因为BC⊥平面ABPE，所以BC＝(0,0,1)为平面ABPE的一个法向量，设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，易得PD＝(2，－2,1)，CD＝(2,0,0)，则即令y＝1，则z＝2，故n＝(0,1,2)，设平面PCD与平面ABPE所成的二面角大小为θ，则|cosθ|＝＝＝，由图知，所求二面角为锐角，所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为.(2)假设满足题意的点N存在，设PN＝λPD＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)，则BN＝BP＋PN＝(2λ，2－2λ，λ)．由(1)知，平面PCD的一个法向量为n＝(0,1,2)，设直线BN与平面PCD所成的角为α，则sinα＝|cos〈BN，n〉|＝＝，即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．故当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
