课时达标第11讲函数与方程[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．一、选择题1．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(A)A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．2．用二分法找函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(B)A．(0,1)B．(0,2)C．(2,3)D．(2,4)解析因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，又已知f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．故选B．3．f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为(B)A．4B．5C．6D．7解析令f(x)＝2sinπx－x＋1＝0，则2sinπx＝x－1，令h(x)＝2sinπx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sinπx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sinπx－x＋1的零点个数为5.4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为(B)A．(0,4)B．(4，＋∞)C．(0,2)D．(2，＋∞)解析依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y1＝|x2－a|的图象与函数y2＝x－2的图象有两个不同的交点．如图，则>2，即a>4.故选B．5．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(B)A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，－1)解析因为f(－x)＝e|－x|＋|－x|＝e|x|＋|x|＝f(x)，故f(x)是偶函数．当x≥0时，f(x)＝ex＋x是增函数，故f(x)≥f(0)＝1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)的值域为[1，＋∞)，作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选B．6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(C)A．－B．C．D．1解析由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C．二、填空题7．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数a的取值范围为____.解析依据二次函数的图象有即解得2
0时，f(x)＝2019x＋log2019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为__3__.解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2019x＋log2019x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.9．已知函数f(x)＝有3个不同的零点，则实数a的取值范围是____.解析依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时00时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，于是有解得a>，因此，满足题意的实数a需满足即0，∴f(2)<0.又 f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则∴∴∴－≤m≤－1.由①②可知实数m的取值范围是(－∞，－1]．方法二由x2＋(m－1)x＋1＝0得x＝0不是方程的根，∴x≠0.当x∈(0,2]时，－(m－1)x＝x2＋1,1－m＝x＋. x∈(0,2]时，x＋≥2，∴1－m≥2，即m≤－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1]．11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2...
