2.2.2双曲线的简单几何性质1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝()．A．－B．－4C．4D．2．已知双曲线－＝1(a＞)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为()．A．B．C．D．3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是()．A．(－，)B．(－，)C．[－，]D．[－，]4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()．A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝15．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()．A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x6．若点P在双曲线x2－＝1上，则点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是__________．7．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．8．双曲线与圆x2＋y2＝17有公共点A(4，－1)，圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的标准方程是__________．9．已知双曲线C：－y2＝1.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)已知点M的坐标(0,1)，P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ＝MP�·MQ�，求λ的取值范围．1参考答案1．A∵曲线mx2＋y2＝1是双曲线，∴m＜0，排除选项C，D；将m＝－代入已知方程，变为y2－＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A.2．B∵a＞，∴＜1.∴渐近线y＝x的倾斜角小于45°.∴＝tan＝.∴a＝，∴c＝＝2.∴e＝＝＝.3．C由题意知，焦点F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.4．B由方程组得a＝2，b＝2.又∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为－＝1.5．C由题意知：2b＝2,2c＝2，则可求得a＝，则双曲线方程为－y2＝1，故其渐近线方程为y＝±x.6．(0，]双曲线的一条渐近线方程是3x－y＝0，由渐近线的性质，知当P点是双曲线的一个顶点时，P点到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，则P点到渐近线的距离的最大值为＝.7．∵双曲线的渐近线为y＝±x，且A(3,0)，F(5,0)，∴直线BF的方程为y＝(x－5)(由于两条渐近线关于x轴对称，因此设与任何一渐近线平行的直线均可)．代入双曲线方程，得－×(x2－10x＋25)＝1.解得x＝，∴y＝－.又∵|AF|＝c－a＝2，∴S△AFB＝|AF|·|y|＝×2×＝.8．－＝1∵点A与圆心O的连线的斜率为－，∴过点A的圆的切线的斜率为4.∴双曲线的渐近线方程为y＝±4x.设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)．∵点A(4，－1)在双曲线上，∴16－＝λ，∴λ＝.∴双曲线的标准方程为－＝1.9．解：(1)由－y2＝0，得所求渐近线方程为y－x＝0，y＋x＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，则点Q的坐标为(－x0，－y0)．所以λ＝MP�·MQ�＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－x－y＋1＝－x＋2.∵|x0|≥，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．2
