双曲线及其标准方程教学设计一、教学目标：知识与技能：通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；过程与方法：通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；情感态度与价值观：通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生观察分析抽象的能力，体验解析思想，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣；二、重点难点：重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：准确理解表述双曲线的定义，标准方程的推导三、课前准备：教具准备：①全班按4人一组分成若干组，每组准备8K纸一张，拉链一根②教师准备小木板一块，长拉链一根，图钉两枚，美工笔一支．③实物投影仪，Flash课件．教法准备：在教师的指导下探究学习，通过作图——原理分析——定义——方程推导的探究，深化对双曲线的认识，并注意与椭圆的类比．四、教学过程：（一）回顾椭圆，寻求引领方法问题1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？问题2：如何作椭圆？（边回顾知识，边播放Flash课件，动画展示椭圆的形成过程，注重于研究问题的方法）（二）动手演示，感受双曲线形成在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）总结方法：取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两个定点F1和F2处，（注意F1F2的距离要比拉链两点的差要大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线．（学生动手，老师指导，然后在讲台上演示）（三）剖析特征，提炼双曲线定义3.1分析演示结果展示学生画图结果一：1F1F2MF1F2M拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F1F2|．动点M变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F1F2|，而|F1F2|为定长，所以点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为2a，即|MF1|-|MF2|=2a展示学生画图结果二：画出来的曲线开口向左边（把学生的图在实物投影下展示，发现存在的差异，讨论点M到F1与F2两点的距离的差确切怎样表示？）展示学生画图结果三：拉链头拉不到F2点，图画不出来（引发学生思考为什么会画不出来？||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系？）3.2双曲线定义：（引导学生概括出双曲线的定义）平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．数学简记：（）（直观感觉双曲线有“两条”（两支），每一支“有点象”抛物线．曾经学过的反比例函数图象是双曲线．那么双曲线就是反比例函数图象？答，不是的，反比例函数图象是双曲线，但双曲线所对应的表达式不一定是反比例函数的形式，下面我们就研究双曲线的方程）（四）类比椭圆，推导标准方程4.1推导回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．（教师提示步骤，叫一学生上台板演，其余学生自己推导，教师个别指导）整理修改板演学生的结果：设，，，由，得，2F2F1MF2F1M.令（），得，即．（讨论：推导的过程是一个等价变形的过程吗？）4.2标准方程①双曲线的标准方程当焦点在x轴上，中心在原点时，方程形式：当焦点在y轴上，中心在原点时，方程形式：②参数a,b,c的关系（）（实轴长）（焦距）③与椭圆的对比(从定义阐述，方程结构特征，a,b,c之间的关系，焦点坐标的判断着手分析相同点和不同点，并用课件表格的形式呈现)（五）应用解题，巩固知识要点例1写出一个双曲线的标准方程，并让同桌写出相应的焦点坐标及a,b,c的值．（学生自己出题，自己解答，巩固标准方程及其中相应的数量关系，并找出具有代表性的例子用实物投影共同分析解答的结果）例2已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是．变式：（1）改为表示焦点在y轴上的双曲线呢？（2）改为表示双曲线呢？（3）若表示椭圆呢？（通过变式进一步巩固方程的结构特征，并与椭圆加以区别）例3在给出的四个选项中选择适当...
