九年级数学下册 第七章 奥赛园地(基础巩固提优课外拓展提优开放探究提优，pdf) 苏科版试卷VIP免费

无论你怎样地表示愤怒,都不要做出任何无法挽回的事来.———培根【例１】(第２５届全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,若cosB＝４５,EC＝２,P是AB边上的一个动点,则线段PE的长度的最小值是．【分析】设菱形ABCD的边长为x,则AB＝BC＝x．又EC＝２,所以BE＝x－２．因为AE⊥BC,所以在Rt△ABE中,cosB＝x－２x．又cosB＝４５,于是x－２x＝４５,解得x＝１０,即AB＝１０．所以易求BE＝８,AE＝６．当EP⊥AB时,PE取得最小值．由三角形面积公式,得１２AB􀅰PE＝１２BE􀅰AE,求得PE的最小值为４．８．【解答】４．８．【例２】(第２５届􀅰全国初中数学联合竞赛试题第二试(B))如图,设AD、BE、CF为三角形ABC的三条高,若AB＝６,BC＝５,EF＝３,则线段BE的长为()．A．１８５B．４C．２１５D．２４５【分析】因为AD、BE、CF为三角形ABC的三条高,易知B、C、E、F四点共圆,于是△AEF∽△ABC,故AFAC＝EFBC＝３５,即cos∠BAC＝３５,所以sin∠BAC＝４５．在Rt△ABE中,BE＝ABsin∠BAC＝６×４５＝２４５．故选D．【解答】D．初赛题１．设x为锐角,且满足sinx＝３cosx,则sinx􀅰cosx等于()．A．１６B．１５C．２９D．３１０２．设A、B是Rt△ABC的两个锐角,则关于x的二次方程x２tanA－２x＋tanB＝０的根的情况为()．A．有两个相等的实根B．没有实数根C．有两个不等的实根D．不能确定３．已知在Rt△ABC中,∠C＝９０°,则a３cosA＋b３cosB等于()．A．c３B．abcC．ac２＋bc２D．a３＋b３４．在Rt△ABC中,a＞c,如果cosA＋８cosB＋cosC＝４,那么a∶b∶c等于()．A．１３∶１２∶５B．１２∶１３∶５C．１３∶５∶１２D．１∶８∶４５．已知sinα＋cosα＝１７１３,且０°＜α＜４５°,求sinα的值．６．化简:－(sinα－cosα)２(０°＜α＜３０°)．７．若A为锐角,且tanA＝２,求３sinA＋cosA４cosA－５sinA．奥赛园地先相信自己,然后别人才会相信你.———罗曼􀅰罗兰复赛题８．设a,b,c是△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C所对边的长,且∠A＝６０°,求ca＋b＋ba＋c值９．如图,AD、BE分别是等边三角形ABC的高,EF∥BC交AD于点F,BE＝６cm,求S△BEF．(第９题)１０．已知A、B、C是锐角三角形ABC的三个内角,满足关系式４sin２C＋４cosC＝５,且关于x的二次方程x２－２xsinC＋３２sin２A＝０有两个相等的实数根,求∠B的度数．１１．点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上,若△CEF,△ABE,△ADF的面积分别是３,４,５．求△AEF的面积．(第１１题)奥数园地１．D２．A３．B４．A５．５１３６．sinα－cosα７．－７６８．１９．∵AB＝AC,AD⊥BC,∴BD＝CD．同理AE＝CE．∵EF∥BC,∴AF＝FD．∴EF＝１２DC．∵△ABC是等边三角形,∴∠C＝６０°．在Rt△BCE中,sinC＝BEBC,∴BC＝６sin６０°＝４３(cm)．∴DC＝２３(cm),EF＝３(cm)．而AD＝BE＝６(cm),∴DF＝３(cm)．∴S△BEF＝１２×３×３＝３２３(cm２)．１０．４sin２C＋４cosC＝５,即４(１－cos２C)＋４cosC－５＝０．整理,得４cos２C－４cosC＋１＝０,因此(２cosC－１)２＝０．∴cosC＝１２,∠C＝６０°．方程x２－２xsinC＋３２sin２A＝０,即为x２－２xsin６０°＋３２sin２A＝０,x２－３x＋３２sin２A＝０,由Δ＝３－６sin２A＝０,得sinA＝２２,∴∠A＝４５°．∴∠B＝７５°．１１．设AB＝a,BC＝b,由已知得１２×a×BE＝４,∴BE＝８a．∴EC＝b－８a．又１２×EC×FC＝３,∴FC＝６aab－８．∴DF＝a－６aab－８．又１２×DF×AD＝５,∴１２×a－６aab－８()×b＝５．∴(ab)２－２４ab＋８０＝０．∴ab＝２０(ab＝４不合理,舍去)．∴S△AEF＝２０－３－４－５＝８．