无论你怎样地表示愤怒,都不要做出任何无法挽回的事来.———培根【例1】(第25届全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,若cosB=45,EC=2,P是AB边上的一个动点,则线段PE的长度的最小值是.【分析】设菱形ABCD的边长为x,则AB=BC=x.又EC=2,所以BE=x-2.因为AE⊥BC,所以在Rt△ABE中,cosB=x-2x.又cosB=45,于是x-2x=45,解得x=10,即AB=10.所以易求BE=8,AE=6.当EP⊥AB时,PE取得最小值.由三角形面积公式,得12ABPE=12BEAE,求得PE的最小值为4.8.【解答】4.8.【例2】(第25届全国初中数学联合竞赛试题第二试(B))如图,设AD、BE、CF为三角形ABC的三条高,若AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE的长为().A.185B.4C.215D.245【分析】因为AD、BE、CF为三角形ABC的三条高,易知B、C、E、F四点共圆,于是△AEF∽△ABC,故AFAC=EFBC=35,即cos∠BAC=35,所以sin∠BAC=45.在Rt△ABE中,BE=ABsin∠BAC=6×45=245.故选D.【解答】D.初赛题1.设x为锐角,且满足sinx=3cosx,则sinxcosx等于().A.16B.15C.29D.3102.设A、B是Rt△ABC的两个锐角,则关于x的二次方程x2tanA-2x+tanB=0的根的情况为().A.有两个相等的实根B.没有实数根C.有两个不等的实根D.不能确定3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,则a3cosA+b3cosB等于().A.c3B.abcC.ac2+bc2D.a3+b34.在Rt△ABC中,a>c,如果cosA+8cosB+cosC=4,那么a∶b∶c等于().A.13∶12∶5B.12∶13∶5C.13∶5∶12D.1∶8∶45.已知sinα+cosα=1713,且0°<α<45°,求sinα的值.6.化简:-(sinα-cosα)2(0°<α<30°).7.若A为锐角,且tanA=2,求3sinA+cosA4cosA-5sinA.奥赛园地先相信自己,然后别人才会相信你.———罗曼罗兰复赛题8.设a,b,c是△ABC的三个内角∠A,∠B,∠C所对边的长,且∠A=60°,求ca+b+ba+c值9.如图,AD、BE分别是等边三角形ABC的高,EF∥BC交AD于点F,BE=6cm,求S△BEF.(第9题)10.已知A、B、C是锐角三角形ABC的三个内角,满足关系式4sin2C+4cosC=5,且关于x的二次方程x2-2xsinC+32sin2A=0有两个相等的实数根,求∠B的度数.11.点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上,若△CEF,△ABE,△ADF的面积分别是3,4,5.求△AEF的面积.(第11题)奥数园地1.D2.A3.B4.A5.5136.sinα-cosα7.-768.19.∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.同理AE=CE.∵EF∥BC,∴AF=FD.∴EF=12DC.∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°.在Rt△BCE中,sinC=BEBC,∴BC=6sin60°=43(cm).∴DC=23(cm),EF=3(cm).而AD=BE=6(cm),∴DF=3(cm).∴S△BEF=12×3×3=323(cm2).10.4sin2C+4cosC=5,即4(1-cos2C)+4cosC-5=0.整理,得4cos2C-4cosC+1=0,因此(2cosC-1)2=0.∴cosC=12,∠C=60°.方程x2-2xsinC+32sin2A=0,即为x2-2xsin60°+32sin2A=0,x2-3x+32sin2A=0,由Δ=3-6sin2A=0,得sinA=22,∴∠A=45°.∴∠B=75°.11.设AB=a,BC=b,由已知得12×a×BE=4,∴BE=8a.∴EC=b-8a.又12×EC×FC=3,∴FC=6aab-8.∴DF=a-6aab-8.又12×DF×AD=5,∴12×a-6aab-8()×b=5.∴(ab)2-24ab+80=0.∴ab=20(ab=4不合理,舍去).∴S△AEF=20-3-4-5=8.