７．４由三角函数值求锐角学习目标导航会根据锐角的三角函数值,利用科学计算器求出该锐角的大小．教材知识详析要点１应用计算器求角的度数(１)能用计算器求锐角三角函数值;(２)利用计算器由已知三角函数值求锐角．例１若cosA＝２３,则∠A＝．(结果精确到１°)精析:利用计算器即可求出锐角．解答:４８°．要点２已知特殊角的锐角三角函数值确定锐角度数例２在△ABC中,若∠A、∠B满足cosA－１２＋sinB－２２æèçöø÷２＝０,则∠C＝．精析:首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－１２＝０,sinB－２２＝０,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为１８０°算出∠C的度数即可．解答:７５°．此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．要点３求方程的解确定锐角的度数例３求满足下列条件的锐角α:２cos２α－(１＋３)cosα＋３２＝０．精析:把cosα看成一个整体,求出关于cosα的一元二次方程的解,从而确定α的大小．解答: ２cos２α－(１＋３)cosα＋３２＝０,∴cosα＝１２或cosα＝３２．∴α＝３０°或α＝６０°．拉分典例探究综合应用图７．４Ｇ１例１(要点２)如图７．４Ｇ１,一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗时,为了最大限度地保证疗效,并且防止伤害器官,射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下６．３cm的A处,射线从肿瘤右侧９．８cm的B处进入身体,求射线的入射角度．(精确到１″)精析:本题是求角度,由已知条件可通过求正切值来求得．解答:如图７．４Ｇ１,在Rt△ABC中,AC＝６．３cm,BC＝９．８cm, tanB＝ACBC＝６．３９．８≈０．６４２９,∴∠B＝３２°４４′１３″．因此,射线的入射角度约为３２°４４′１３″．归纳演绎:已知三角函数值求角度,要防止按键顺序颠倒的错误．例２(要点３)邵阳市某大型超市为方便顾客购物,准备在一楼至二楼之间安装电梯,如图７．４Ｇ２(１),楼顶与地面平行．要使身高２米以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时,在B处不碰到头部．请你帮该超市设计,电梯与一楼地面的夹角α最小为多少度?(１)(２)图７．４Ｇ２精析:若在B处不碰到头部,则说明B到电梯的竖直距离为２米．(即点B向AD作垂线交AC于点F,BF的距离必须大于２米)解答:如图７．４Ｇ２(２),过点B作BE⊥AD于点E,交AC于点F．依题意,得BF＝２,DE＝BC＝２３． CD＝４,∴EF＝２． EFCD＝AEAD,∴２４＝AEAE＋２３．∴AE＝２３．在Rt△AEF中,tanα＝EFAE＝２２３＝３３,得α＝３０°．故电梯与一楼地面的夹角α最小为３０°．技法规律:由题目的要求推得B处到电梯的竖直距离大于等于２米并构造直角三角形是解题的关键．例３(要点３)如图７．４Ｇ３(１),施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB＝４米,斜面距离BC＝４．２５米,斜坡总长DE＝８５米．(１)求坡角∠D的度数;(结果精确到１°)(２)如图７．４Ｇ３(２),若这段斜坡用厚度为１７cm的长方体台阶来铺,需要铺几级台阶?(１)(２)图７．４Ｇ３精析:(１)先利用余弦,求出∠ABC的度数,再利用平行线间内错角相等,即可求出∠D;(２)利用正弦求出EF的长度,即可求出台阶的级数．解答:(１)cos∠D＝cos∠ABC＝ABBC＝４４．２５≈０．９４,故∠D≈２０°．(２)EF＝DEsin∠D＝８５sin２０°≈８５×０．３４＝２８．９(米),故共需台阶２８．９×１００÷１７＝１７０(级)．技法规律:构造合适的直角三角形ABC是解本题的关键．探究创新例４(要点３)某过街天桥的截面图为等腰梯形,如图７．４Ｇ４所示,其中天桥斜面CD的坡度为i＝１∶３(i＝１∶３是指铅直高度DE与水平宽度CE的比),CD的长为１０m,天桥另一斜面AB的坡角∠ABG＝４５°．(１)写出过街天桥斜面AB的坡度;(２)求DE的长;(３)若决定对该过街天桥进行改建,使AB斜面的坡度变缓,将其４５°坡角改为３０°,方便过路群众,改建后斜面为AF．试计算此改建需占路面的宽度FB的长．(结果精确到０．０１m)图７．４Ｇ４精析:构造直角三角形,利用特殊角的三角函数值得出边的关系．解答:(１)在Rt△AGB中,∠ABG＝４５°,∴AG＝BG．∴AB的坡度＝AGBG＝１．(２...
