题组层级快练(四十七)1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案A解析 直线方程可化为y－1＝k(x－1)，恒过(1，1)定点，而(1，1)在椭圆内部，故选A.2．(2016·安徽安庆六校联考)已知斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2，1)是AB的中点，则C的离心率等于()A.B.C.D.答案D解析kAB＝－，kOP＝，由kAB·kOP＝－，得×(－)＝－.∴＝.∴e＝＝＝.3．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是()A．3B.C．2D.答案D解析设椭圆＋＝1上的点P(4cosθ，2sinθ)，则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，∴dmax＝＝.4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1(a>0)的左焦点为F(－c，0)．若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A．3B．5C．2D．4答案C解析圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．由题意知直线l的方程为x＝－c，又直线l与圆M相切，∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．答案＋x2＝1解析 椭圆＋＝1的右顶点为A(1，0)，∴b＝1，焦点坐标为(0，c)， 过焦点且垂直于长轴的弦长为1，即1＝2|x|＝2b＝＝，a＝2.则椭圆方程为＋x2＝1.6．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，若原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________．答案解析由消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.则MN的中点P的坐标为(，)．∴kOP＝＝.7．(2013·福建)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案－1解析由直线y＝(x＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|＝c.又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(＋1)c＝2a.即e＝＝－1.8．已知椭圆＋＝1(0b>0)的一个顶点A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．答案(1)＋＝1(2)k＝±1解析(1) a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝.椭圆C：＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由消y，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 直线y＝k(x－1)恒过椭圆内一点(1，0)，∴Δ>0恒成立．由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.S△AMN＝×1×|y1－y2|＝×|kx1－kx2|＝＝＝.即7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.12．(2016·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心C.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．答案(1)＋＝1(2)x－5y＋2＝0或x＋y＋2＝0解析(1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋)2＝6，圆心C(2，－)，半径r＝.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则所以所以所求的椭圆方程是＋＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2，0)，F2(2，0)，|F2C|＝＝
