专题限时集训(十一)直线与圆(对应学生用书第139页)[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝()A．2B．4C．6D．2C[圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，所以a＝－1，从而A(－4，－1)，|AB|＝＝＝6.]2．已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝()【导学号：68334121】A．±2B．±C.D.B[抛物线的准线为y＝－1，将圆化为标准方程得2＋y2＝，圆心到准线的距离为1＝⇒m＝±.]3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为()A.B．2C．3D．4C[由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在的直线方程为：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得，＝，解得m＝－6，即l：x＋y－6＝0，再根据点到直线的距离公式得点M到原点的距离的最小值为＝3.]4．已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A(4,0)，B(6,8)，C(2,4)，则R的取值范围是()【导学号：68334122】A.B．[4,10]C．[2，10]D.A[由图形(图略)可得当圆与AC边相切时，R取得最小值，直线AC的方程为2x＋y－8＝0，则由点到直线的距离公式可得Rmin＝.当圆经过点B时，R取得最大值，则Rmax＝10，所以R的取值范围是，故选A.]5．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为()A．1B．3C.D.A[x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥＝1，1当且仅当＝即a＝±b时取等号，故选A.]二、填空题6．已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[因为圆心为O(0,0)，半径R＝1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO＝R＝，由题意知圆心O到直线y＝kx＋2的距离小于或等于PO＝，即≤，即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1.]7．设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆(x－2)2＋y2＝1的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值是________．2[圆心C(2,0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝，所以|PA|＝≥＝2.]8．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.18[由题意得直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为r＝2，即＝＝2⇒a2＋b2＝(2＋1)2＋(－2＋1)2＝18.]三、解答题9．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.[解](1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3).2分当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.由d＝＝1，得k＝.4分又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，5分故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.6分(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，8分点C到直线OA的距离为d＝＝.12分又|OA|＝＝，∴S＝|OA|d＝.15分10．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．2[解](1)如图所示，|AB|＝4，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，2分所以圆C的圆心坐标为(－2，6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，所以|AD|＝2，|AC|＝4，C点坐标为(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝.故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.4分直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.6分所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0....
