高二数学期末复习三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则＝。注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等),以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆上的点到直线的最短距离为；（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知ΔABO重心的横坐标为3（O为坐用心爱心专心116号编辑标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上，则此椭圆的离心率为（4*）若椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为。[课本2-1P.64第6题]（5）以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为.（6）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为9[解：P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和]例2．如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明为定值，并求此定值。解：（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而因此焦点的坐标为（2，0）.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|＝|AC|＝解得，类似地有，解得。记直线m与AB的交点为E，则用心爱心专心116号编辑A所以。故。解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为。将此式代入,得，故。记直线m与AB的交点为，则，，故直线m的方程为.令y=0,得P的横坐标故。从而为定值。例3．在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。解:椭圆方程可写为:+=1式中a>b>0,且得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+=1(x>0,y>0).y=2(01,y>2)(Ⅱ)|AB|2=x2+y2,y2==4+,∴|AB|2=x2－1++5≥4+5=9.且当x2－1=,即x=>1时,上式取等号.故|AB|的最小值为3.三、课后作业1．直线与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是；2．如果椭圆弦被点A（4...
