3.2.2空间线面关系的判定[基础达标]若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则l与α的位置关系为________．解析： u＝(－2，0，－4)＝－2×(1，0，2)＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.答案：l⊥α平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是__________．解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1，2，0)·(2，－1，0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．答案：垂直设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于__________．解析：由题意知，向量(1，－2，2)与向量(2，λ，4)共线，∴＝＝，∴λ＝－4.答案：－4已知直线l的方向向量为u＝(2，0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2，1，－4)，则l与α的位置关系为________．解析： u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋4＝0，∴u⊥v，∴l∥α或l⊂α.答案：l∥α或l⊂α已知直线l的方向向量为v＝(1，－1，2)，平面α的法向量为n＝(2，4，1)，且l⊄α，则l与α的位置关系是__________．解析：因为v·n＝2－4＋2＝0，所以v⊥n，又l⊄α，所以l∥α.答案：l∥α已知直线l的方向向量v＝(2，－1，3)，且过点A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝__________．解析：由已知得BA＝(1，y－2，3－z)，依题意BA∥v，所以＝＝.所以y＝，z＝，得y－z＝0.答案：0已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，2)，DE＝(x，－3，6)，若DE∥平面ABC，则x＝__________．解析：若DE∥平面ABC，则存在实数对λ、μ，使得DE＝λAB＋μBC.即，解得.答案：5如图所示，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列命题中正确的是________．①EF至多与A1D、AC之一垂直；②EF是A1D、AC的公垂线；③EF与BD1相交；④EF与BD1异面．解析：设AB＝1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)．则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，所以A1D＝(－1，0，－1)，AC＝(－1，1，0)，EF＝，BD1＝(－1，－1，1)，EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.答案：②已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在DB，D1C上，且DE＝D1F＝a，其中a为正方体棱长，求证：EF∥平面BB1C1C.1证明：建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，则E(，，0)，F(0，，)，故EF＝(－，0，)，又AB＝(0，a，0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，而AB·EF＝(0，a，0)·(－，0，)＝0，∴AB⊥EF.又EF⊄平面BB1C1C，因此EF∥平面BB1C1C.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点．求证：平面ADE⊥平面A1FG.证明：连结D1F，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为1.∴D(0，0，0)，E(1，1，)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，G(1，，0)，F(0，，0)．∴AE＝(0，1，)，A1G＝(0，，－1)，GF＝(－1，0，0)．∴AE·A1G＝0＋－＝0，AE·GF＝0＋0＋0＝0.∴AE⊥A1G，AE⊥GF， A1G∩GF＝G，∴AE⊥平面A1GF.又AE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面A1GF.[能力提升]若直线a与b是两条异面直线，它们的方向向量分别为v1＝(1，1，－1)和v2＝(2，－3，2)，又a与b的公垂线的方向向量为v＝(x，y，5)，则x＋y＝__________．解析：由已知得，所以x＝1，y＝4，故x＋y＝5.答案：5已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1B1与平面AD1C的位置关系是__________；A1B与平面DD1C1C的位置关系是__________．解析：A1B1与平面AD1C相交．由A1B∥CD1，又A1B⊄平面DD1C1C，CD1⊂平面DD1C1C，∴A1B∥平面DD1C1C.答案：相交平行已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，求证：平面A1BD∥平面B1D1C.证明：建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz，则各点坐标是2A1(1，0，0)，D1(0，0，0)，B1(1，1，0)，B(1，1，1)，D(0，0，1)，C(0，1，1)，所以A1B＝(0，1，1)，BD＝(－1，－1，0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨取z＝1，则n＝(1，－1，1)．又由B1D1＝(－1，－1，0)，D1C＝(0，1，1)，知n...
