2-2-1综合法与分析法[课后提升案·素养达成][限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．关于综合法和分析法的说法错误的是A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法答案C2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．无法确定解析a＝lg2＋lg5＝1，b＝ex，当x＜0时，0＜b＜1，所以a＞b.答案A3．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝A．2B．－2C.D．－解析因为S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，且S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.答案D4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f.答案A5．m＝＋，n＝＋(a≥0)，则有A．m＜nB．m＝nC．m＞nD．不能确定1解析要比较m，n的大小，可比较m2＝2a＋5＋2，n2＝2a＋5＋2，只要比较a2＋5a与a2＋5a＋6的大小，因为a2＋5a＋6＞a2＋5a，所以＋＜＋(a≥0)，即m＜n.答案A6．设a，b，m都是正整数，且a＜b，则下列不等式中恒不成立的是A.＜＜1B.≥C.≤≤1D．1＜＜解析可证明＜成立，要证明＜，由于a，b，m都是正整数，故只需证ab＋am＜ab＋bm，即证(a－b)m＜0，因为a＜b，所以(a－b)m＜0成立．答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－，f(1)＝1，f(－2)＝2，则f(2)－f(3)＝________．解析∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)，∴4是f(x)的一个周期，∴f(2)－f(3)＝－f(－2)－f(－1)＝－f(－2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.答案－18．如图所示，在侧棱垂直于底面的四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为CC1⊥底面A1B1C1D1，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．答案对角线互相垂直9．a＞b＞c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．解析由a＞b＞c，得a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，要使＋≥恒成立．只需＋≥n恒成立，只需＋≥n恒成立，显然2＋＋≥4(当且仅当b－c＝a－b时等号成立)，所以只需n≤4成立，即n能取的最大值为4.答案4三、解答题(本大题共3小题，共35分)210．(11分)已知a，b，c，d∈R，求证：ac＋bd≤.证明①当ac＋bd≤0时，显然成立，②当ac＋bd＞0时，欲证原不等式成立，只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，即证2abcd≤b2c2＋a2d2，即证0≤(bc－ad)2，因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立，故原不等式成立，综合①②知，命题得证．11．(11分)已知a，b，c为不全相等的正数．求证：＋＋＞a＋b＋c.证明要证＋＋＞a＋b＋c，只要证＞a＋b＋c，∵a，b，c＞0，只要证(bc)2＋(ac)2＋(ab)2＞abc(a＋b＋c)，由公式知(bc)2＋(ac)2≥2abc2，(ac)2＋(ab)2≥2a2bc，(bc)2＋(ab)2≥2ab2c，∵a，b，c不全相等，上面各式等号至少有一个不成立，三式相加，得2[(bc)2＋(ac)2＋(ab)2]＞2abc2＋2a2bc＋2ab2c＝2abc(a＋b＋c)，即(bc)2＋(ac)2＋(ab)2＞abc(a＋b＋c)成立，∴＋＋＞a＋b＋c成立．12．(13分)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．解析(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d，由条件，得方程组解得所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.(2)证明由(1)得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1，②3由①－②，得－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，即Tn－8＝(3n－4)×2n＋1，而当n≥2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N*，n≥2.4
