高三数学一轮 第六章 第二节 算术平均数与几何平均数课件 理 课件VIP免费

第二节算术平均数与几何平均数考纲点击掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.热点提示1.以选择题或填空题的形式考查利用基本不等式求最值问题.2.以解答题形式考查求函数最值、证明不等式及解决实际问题.1．基本不等式若a，b∈R，则a2＋b2_____2ab，当且仅当___________时取“＝”．≥a＝b2．算术平均数与几何平均数定理如果，a，b是_______，那么a＋b2___ab，当且仅当_______时取“＝”．这一定理又可叙述为：两个______的____________不小于它们的_______________．正数≥a＝b正数算术平均数几何平均数3．常用不等式(1)若x>0，则x＋1x≥2(当且仅当_______时取“＝”)；若x≠0，则x＋1x___2或x＋1x____－2，即|x＋1x|___2(当且仅当x＝___或x＝_____时取“＝”)．x＝1≥≥1－1≥(2)①a2＋b2____(a＋b)22；②ab____a＋b22；③a＋b22____a2＋b22；④(a＋b)2____4ab(3)①－a2＋b22____ab____a2＋b22；②a2＋b2____2|ab|.≥≥≥≤≤≤≤4．利用算术平均数与几何平均数定理求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最____值_____.(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝s(定值)，那么当x＝y时，xy有最_____值____.小大2ps241．下列结论中正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋1lgx≥2B．当x>0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值是2D．当054，则f(x)＝4x＋14x－5的最小值为()A．－3B．2C．5D．7【解析】 f(x)＝4x＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋5， x>54，∴4x－5>0，∴4x－5＋14x－5≥2，故f(x)≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝32.【答案】D3．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则1a＋4b的最小值为()A．8B．12C．20D．16【解析】 直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴1a＋4b＝(4a＋b)1a＋4b＝4＋16ab＋ba＋4≥16，等号成立的条件是a＝18，b＝12.【答案】D4．设x，y都是正实数，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是________．【解析】 x，y都是正实数，x＋4y≥4xy，∴xy≤10，xy≤100，而lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2，等号成立的条件是x＝20，y＝5.【答案】25．下列函数中，y的最小值为4的是________(填序号)．①y＝x＋4x(x>0)；②y＝2(x2＋3)x2＋2；③y＝ex＋4e－x；④y＝sinx＋4sinx.【解析】① x＋4x≥2x·4x＝4，等号成立的条件是x＝2，②2(x2＋3)x2＋2＝2x2＋2＋1x2＋2＝2x2＋2＋1x2＋2≥4，但等号不成立，③ex＋4e－x＝ex＋4ex≥4，等号成立的条件是x＝ln2，④当sinx>0时，sinx＋4sinx≥4，但等号不成立；当sinx<0时，sinx＋4sinx<4.【答案】①③利用均值不等式证明不等式已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)．【思路点拨】本题可采用分析法，充分利用已知条件及均值不等式的证明．【自主解答】 a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1.∴要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a]·[(a＋b＋c)＋b]·[(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a]·[(a＋b＋c)－b]·[(a＋b＋c)－c]．也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)① (a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)>0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)>0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)>0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证．1．证明不等式时，依据求证两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式；2．由均值不等式变形得到的常见的结论：(1)a2＋b2≥(a＋b)22；(2)ab≤a＋b22；(3)a＋b22≤a2＋b22；(4)(a＋b)2≥4ab；(5)(a＋b)1a＋1b≥4(a>0，b>0)；(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca等．[教师选讲]已知x>0，y>0，z>0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.【证明】 x>0，y>0，z>0，∴yx＋zx≥2yzx>0，xy＋zy≥2xzy>0，xz＋yz≥...