4(1,22)1(24.).abkk设平面的一个法向量是，，平面的一个法向量是，，，若，则(24)(1,22)224.kkk因为，所以，，，，所以，，所以解析：122()333，，2,2,14,5,3.2.ABACABC�已知向量，，则平面的单位法向量为()22045302.1(12,2)122()333xyzxyzxyzyxx设法向量为，，，则，得令，得，，所以单位法向量为，，．解析：nn10312(21,3)(4,2).3.llxx已知两互相垂直的直线，的方向向量分别为，，，，则实数ab00,241230103xx两条直线垂直，即是它们的方向向量垂直，数量积等于，即析，解之得解：ab0xyz0,0,01,1,1..4()aOMxyzaxyz已知平面经过点，且是平面的法向量，，，是平面内的任意一点，则，，满足的关系是ea()1,1,10.OMexyzxyz�依题意得，，解析：平行11111111522..ABCDABCDEABFACAEEBCFAFEFABCD如图，正方体中，是上的点，是上的点，且，，则与平面的位置关系是111111113.ABaADbAAcEFDBEFDBEFABCDEFABCD���取，，为基底，易得．而，即，且平面，所以平面解析：abcabc用向量方法证明平行与垂直问题1111111—3454121.ABCABCACBCABAADABACBCACCDB在直三棱柱中，，，，，点是的中点．求证：；平面【例】1134590.ABCACBCABACBCACBCCCCACBCCxyz在中，，，，故由勾股定理知，所以、、两两垂直．如图，以点为证明：坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．111111110,0,03,0,00,0,40,4,00,4,4(2,0)13,0,0(04,4)0.20,2,23(0,2)3,0,42CACBBDACBCACBCACBCCBCBEEDEAC���则、、、、、，．因为，，，所以，所以设与的交点为，则．因为，，，11111111.2.DEACDEACDECDBACCDBACCDB�所以，所以又因为平面，平面，所以平面利用空间向量的坐标运算可以解决线线垂直、线面平行与垂直问题，关键是合理建立坐标系，写出点的坐标和需要向量的坐标.本题主要考查线线垂直、线面平行的有关知识及思维能力和空间想象能力，考查应用向量解决几何问题的能力.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别为PC、AB的中点.用向量的运算方法证明:(1)MN∥平面PAD；(2)MN⊥平面PCD.1【变式练习】,0,0(,0)(0,0)(0,0)ABaPAADbBaCabDbPbPDHAH建立如图所示坐标系，设，，则，，，，，，．取的中点，明连接证：，22(0,0)()(0)222222(0)(0)22221.2(0),0,00022aabbbbNMHbbbbNMAHNMAHMNPADAHPADMNPADbbabbNMPDNMDCNMPD���则，，，，，，，，所以，，，，，．因为，且平面，平面，所以平面因为，，，，所以，，所以..NMDCPDDCDMNPDC，又因为，所以平面用向量方法解探索性问题111111112ABCDABCDEFABBCBBMDMEFBM在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，试问在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，【例】说明理由．11.1110,0,1(10)(1,0)221,1,1DDxyzDEFB以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系因为正方体的棱长为，所以，，，，，，解析：．1111111111(1,1)(01)1(1,11)(01)21(0,1)2“”MBBMDMEBFBDMEFBDMFBDMEB���因为点在棱上，所以可设，．所以，，，，，，．因为平面的充要条件为且，11111111(1,11)(01)211021(1,11)(0,1)21102110,122DMEBDMFBMDMEFBMBB��所以，，，，且，，，解得，且．因此，存在点，使得平面，且是的中点．从本例可以看出，在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”“作”“证”，只需通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量解题的优越性.正方体ABCD-A1B1C1D1中，在对角线A1C上是否存在这样的一点E，使BE⊥A1D？若存在，指出点E的位置；若不存在，说明理由.1【变式练习】11,0,0(0,0)...
