第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用 [选题明细表]知识点、方法题号三角形面积的计算1,2,3,5平面图形中的有关计算6,9,10三角恒等式的证明7三角形中的综合问题4,8,11,12基础巩固1.在△ABC 中,若 a=7,b=3,c=8,则△ABC 的面积等于( D )(A)12(B)(C)28(D)6解析:由余弦定理可得 cos A== ,所以 A=60°,所以 S△ABC= bcsin A=6.故选 D.2.已知△ABC 的面积为 ,且 b=2,c=,则( D )(A)A=30° (B)A=60°(C)A=30°或 150°(D)A=60°或 120°解析:因为 S= bcsin A= ,所以 ×2×sin A= ,所以 sin A=,所以 A=60°或 120°.故选 D.3.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两边之比为 8∶5,则这个三角形的面积为( A )1(A)40(B)20(C)40(D)20解析:设另两边长为 8x,5x,则 cos 60°=,解得 x=2 或 x=-2(舍去),故两边长分别为 16 与 10,所以三角形的面积是 ×16×10×sin 60°=40.故选 A.4.(2019·太原高二检测)在△ABC 中,=a,=b,=c,且 a·b=b·c =c·a,则△ABC 的形状是( C )(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等边三角形(D)无法判断解析:设△ABC 的三边分别为 a,b,c,根据向量的数量积得-abcos C=-bccos A=-cacos B.由余弦定理得==,所以 a=b=c,即△ABC 为等边三角形.故选 C.5.在△ABC 中,BC=2,B= ,当△ABC 的面积等于时,sin C 等于( B )(A)(B) (C)(D)解析:由三角形的面积公式 S= AB·BCsin =,易求得 AB=1,由余弦定理得 AC=,再由三角形的面积公式 S= AC·BCsin C=,2即可得出 sin C= .故选 B.6.在△ABC 中,已知 B= ,D 是 BC 边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则 AB 的长为 . 解析:在△ADC 中,因为 AD=10,AC=14,DC=6,所以 cos∠ADC===- .又因为∠ADC∈(0,π),所以∠ADC=,所以∠ADB= .在△ABD 中,由正弦定理得=,所以 AB===5.答案:57.在△ABC 中,若角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,求证:-= - .证明:左边=-=-= -- += - -+3= -=右边(R 为△ABC 外接圆半径),所以等式成立.能力提升8.已知锐角△ABC 中,||=4,||=1,△ABC 的面积为,则·的值为( A )(A)2(B)-2(C)4(D)-4解析:由题意 S△ABC= ||||sin A=,得 sin A=,又△ABC 为锐角三角形,所以 cos A= ,所以·=||||cos A=2.故选 A.9.如图,四边形 ABCD 中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于( B )(A)(B)5(C)6(D)7解析:连接 BD.由已知可得∠DBC=30°,∠ABD=90°,由余弦定理知,BD2=22+2...
