第 2 课时 复数代数形式的加、减运算及其几何意义基础达标(水平一)1.在复平面内,复数 4+i 和 1+2i 分别对应向量和,其中 O 为坐标原点,则对应的复数的虚部是( ). A.-3B.1 C.i D.3【解析】因为=-,所以对应的复数为(1+2i)-(4+i)=-3+i,故其虚部是 1.【答案】B2.若 z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),z1+z2所对应的点在实轴上,则实数 a 的值为( ).A.3 B.2 C.1 D.-1【解析】z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(a+1)i,z1+z2对应的点在实轴上,即 z1+z2为实数,因此 a+1=0,a=-1.【答案】D3.已知|z|=3,且 z+3i 是纯虚数,则 z 等于( ).A.-3B.3 C.-3iD.3i【解析】设 z=x+yi(x,y∈R),则 z+3i=x+(y+3)i.因为 z+3i 是纯虚数,所以又|z|==3,解得 x=0,y=3,即 z=3i.【答案】D4.设 z=3-4i,则复数 z-|z|+(1-i)在复平面内的对应点位于( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 z=3-4i,∴z-|z|+(1-i)=(3-4i)-+(1-i)=(3-5+1)+(-4-1)i=-1-5i,故其对应的点(-1,-5)位于复平面内的第三象限.【答案】C5.复数 z1=cos θ+i,z2=sin θ-i,则复数 z1-z2的模的最大值为 . 【解析】 z1-z2=cos θ-sin θ+2i,∴|z1-z2|==. 5-sin 2θ≤6,∴|z1-z2|的最大值为.【答案】16.在平行四边形 OABC 中,各顶点对应的复数分别为 zO=0,zA=2+ i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数 a-b 为 . 【解析】因为+=,所以 2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得所以 a-b=-4.【答案】-47.设 m∈R,复数 z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若 z1+z2是虚数,求实数 m 的取值范围.【解析】因为 z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,所以 z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i.因为 z1+z2是虚数,所以 m2-2m-15≠0 且 m≠-2,所以 m≠5 且 m≠-3 且 m≠-2,所以实数 m 的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).拓展提升(水平二)8.已知 z1= a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若 z1-z2=4,则 a+b=( ).A.3 B.4 C.2 D.1【解析】 z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,由复数相等的充要条件知解得∴a+b=3.【答案】A9.复数 z1,z2满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( ).A.[-1,1]B.C. D.2【解析】 z1=z2,∴∴λ=4sin2θ-3sin θ=4-.又 sin θ∈[-1,1],∴λ∈.【答案】C10.若 z∈C,|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为 . 【解析】已知在|z-(-2+2i)|=1 中,z 的对应点轨迹是以(-2,2)为圆心,1 为半径的圆,|z-(2...
