第 2 讲 数列求和及综合应用限时 50 分钟 满分 76 分一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)1.(2020·重庆七校联考)若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”.已知正项数列为“梦想数列”,且 b1+b2+b3=1,则 b6+b7+b8=( )A.4 B.16 C.32 D.64解析:C [由-=0 可得 an+1=an,故{an}是公比为的等比数列,故是公比为的等比数列,则{bn}是公比为 2 的等比数列,b6+b7+b8=(b1+b2+b3)×25=32,故选 C.]2.(2020·江西省五校协作体考试)设 Sn是数列{an}的前 n 项和,若 an+Sn=2n,2bn=2an+2-an+1,则++…+=( )A. B. C. D.解析:D [因为 an+Sn=2n ①,所以 an+1+Sn+1=2n+1 ②,②-①得 2an+1-an=2n,所以 2an+2-an+1=2n+1.又 2bn=2an+2-an+1=2n+1,所以 bn=n+1,==-,则++…+=1-+-+…+-=1-=,故选 D.]3.(2020·广东省六校联考)已知数列{an}满足 a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n.设bn=,Sn为数列{bn}的前 n 项和,若 Sn<λ(λ 为常数,n∈N*),则 λ 的最小值是( )A. B. C. D.解析:C [a1+2a2+3a3+…+nan=(2n-1)·3n,①当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(2n-3)·3n-1,②①-②得,nan=4n·3n-1(n≥2),即 an=4·3n-1(n≥2).当 n=1 时,a1=3≠4,所以 an=bn=所以 Sn=+++…+=++++…+,③ Sn=++++…++,④③-④得,Sn=++++…+-=+-,所以 Sn=-<,所以易知 λ 的最小值是,故选 C.]4.(2019·青岛三模)已知 f(n)表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数,例如:12 的因数有 1,2,3,4,6,12,则 f(12)=3;21 的因数有 1,3,7,21,则 f(21)=21,那么∑100,i=51f(i)的值为( )A.2 488 B.2 495 C.2 498 D.2 500解析:D [由 f(n)的定义知 f(n)=f(2n),且若 n 为奇数则 f(n)=n,则∑100,i=1f(i)=f(1)+f(2)+…+f(100)=1+3+5+…+99+f(2)+f(4)+…+f(100)=+f(1)+f(2)+…+f(50)=2 500+∑50,i=1f(i),∴∑100,i=51f(i)=∑100,i=1f(i)-∑50,i=1f(i)=2 500.]5.(2019·深圳二模)已知数列{an}满足 2a1+22a2+…+2nan=n(n∈N*),数列的前 n 项和为 Sn,则 S1·S2·S3·…·S10=( )A. B. C. D.解 析 : C [ 2a1 + 22a2 + … + 2nan = n(n∈N*) , ...