第 2 讲 数列求和及综合应用限时 50 分钟 满分 76 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1．(2020·重庆七校联考)若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且 b1＋b2＋b3＝1，则 b6＋b7＋b8＝( )A．4 B．16 C．32 D．64解析：C [由－＝0 可得 an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故是公比为的等比数列，则{bn}是公比为 2 的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)×25＝32，故选 C.]2．(2020·江西省五校协作体考试)设 Sn是数列{an}的前 n 项和，若 an＋Sn＝2n,2bn＝2an＋2－an＋1，则＋＋…＋＝( )A. B. C. D.解析：D [因为 an＋Sn＝2n ①，所以 an＋1＋Sn＋1＝2n＋1 ②，②－①得 2an＋1－an＝2n，所以 2an＋2－an＋1＝2n＋1.又 2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以 bn＝n＋1，＝＝－，则＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选 D.]3．(2020·广东省六校联考)已知数列{an}满足 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n.设bn＝，Sn为数列{bn}的前 n 项和，若 Sn＜λ(λ 为常数，n∈N*)，则 λ 的最小值是( )A. B. C. D.解析：C [a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，①当 n≥2 时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，②①－②得，nan＝4n·3n－1(n≥2)，即 an＝4·3n－1(n≥2)．当 n＝1 时，a1＝3≠4，所以 an＝bn＝所以 Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，③ Sn＝＋＋＋＋…＋＋，④③－④得，Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－，所以 Sn＝－＜，所以易知 λ 的最小值是，故选 C.]4．(2019·青岛三模)已知 f(n)表示正整数 n 的所有因数中最大的奇数，例如：12 的因数有 1,2,3,4,6,12，则 f(12)＝3；21 的因数有 1,3,7,21，则 f(21)＝21，那么∑100,i＝51f(i)的值为( )A．2 488 B．2 495 C．2 498 D．2 500解析：D [由 f(n)的定义知 f(n)＝f(2n)，且若 n 为奇数则 f(n)＝n，则∑100,i＝1f(i)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝1＋3＋5＋…＋99＋f(2)＋f(4)＋…＋f(100)＝＋f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝2 500＋∑50,i＝1f(i)，∴∑100,i＝51f(i)＝∑100,i＝1f(i)－∑50,i＝1f(i)＝2 500.]5．(2019·深圳二模)已知数列{an}满足 2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列的前 n 项和为 Sn，则 S1·S2·S3·…·S10＝( )A. B. C. D.解 析 ： C [ 2a1 ＋ 22a2 ＋ … ＋ 2nan ＝ n(n∈N*) ， ...
