【创新设计】（江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 专题探究课四习题 理 新人教 A 版1.(2015·福建卷)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝2an－2＋n，求 b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，由已知得解得所以 an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得 bn＝2n＋n，所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.2.(2015·徐州月考)已知等比数列{an}满足 an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若不等式 Sn>kan－2 对一切 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围.解 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，所以 a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，所以 q＝＝＝2，所以 2a1＋a1＝9，所以 a1＝3.所以 an＝3·2n－1，n∈N*.(2)由(1)知 Sn＝＝＝3(2n－1)，所以 3(2n－1)>k·3·2n－1－2，所以 k<2－.令 f(n)＝2－，则 f(n)随 n 的增大而增大，所以 f(n)min＝f(1)＝2－＝，所以 k<，所以实数 k 的取值范围为.3.(2015·苏、锡、常、镇一模)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，且(Sn＋1＋λ)an＝(Sn＋1)an＋1对一切 n∈N*都成立.(1)若 λ＝1，求数列{an}的通项公式；(2)求 λ 的值，使数列{an}是等差数列.1解 (1)若 λ＝1，则(Sn＋1＋1)an＝(Sn＋1)an＋1，a1＝S1＝1.因为 an>0，Sn>0，所以＝，所以··…·＝··…·，化简，得 Sn＋1＋1＝2an＋1，①又 S1＋1＝2a1，所以 Sn＋1＝2an.②②－①，得 an＋1＝2an，所以＝2.所以数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 an＝2n－1(n∈N*).(2)令 n＝1，得 a2＝λ＋1.令 n＝2，得 a3＝(λ＋1)2.要使数列{an}是等差数列，必须有 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝0.当 λ＝0 时，Sn＋1an＝(Sn＋1)an＋1，且 a2＝a1＝1.当 n≥2 时，Sn＋1(Sn－Sn－1)＝(Sn＋1)·(Sn＋1－Sn)，整理，得 S＋Sn＝Sn＋1Sn－1＋Sn＋1，所以＝.4.(2016·石家庄一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，且 λ≠－1)，且 a1，2a2，a3＋3 为等差数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前 n 项和.解 (1)法一 an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，∴an＝λSn－1＋1(n≥2)...
