函数的单调性与导数(时间:25 分,满分 50 分) 班级 姓名 得分 1.(5 分)函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a2-3b<0 时,f(x)是( )A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数【答案】 A2.(5 分)下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )A.y=sin x B.y=xe2C.y=x3-x D.y=ln x-x【答案】 B【解析】 显然 y=sin x 在(0,+∞)上既有增又有减,故排除 A;对于函数 y=xe2,因 e2为大于零的常数,不用求导就知 y=xe2在(0,+∞)内为单调增函数;对于 C,y′=3x2-1=3(x+)(x-),故函数在(-∞,-),(,+∞)上为单调增函数,在(-,)上为单调减函数;对于 D,y′=-1 (x>0).故函数在(1,+∞) 上为单调减函数,在(0,1)上为单调增函数.故 选 B.3.(5 分)如果函数 f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是( )【答案】 A【解析】 由 f(x)与 f′(x)关系可选 A.4.(5 分)设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是( )A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0C.b=0,c>0 D.b2-3ac<01【答案】 D5.(5 分)函数 y=xsinx+cosx,x∈(-π,π)的单调增区间是( )A.和B.和C.和D.和【答案】 A【解析】 y′=xcosx,当-π0,当 00,∴y′=xcosx>0. 6.(5 分)已知 y=x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________.【答案】 b<-1 或 b>2【解析】 若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则 Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2,由题意 b<-1 或 b>2.7.(5 分)若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________.【答案】 [3,+∞)【解析】 y′=3x2-2ax,由题意知 3x2-2ax<0 在区间(0,2)内恒成立,即 a>x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.8.(5 分)若三次函数 f(x)=ax3+x 在区间(-∞,+∞)内是增函数,则 a 的取值范围是________.【答案】 (0,+∞)9.(5 分)已知函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示,试画出函数 y=f(x)的大致图象. 【解析】 由y=f′(x)的图象可以得到以下信息:x<-2 或 x>2 时,f′(x)<0,-20,f′(-2)=0,f′(2)=0.故原函数 y=f(x)的图象大致如右: 10.(5 分已知函数 y=ax 与 y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数 y=ax3+bx2+5 的单调区间.【解析】 ∵函数 y=ax 与 y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0.由 y=ax3+bx2+5 得 y′ =3ax2+2bx.令 y′>0,得 3ax2+2bx>0,∴-<x<0.∴当 x∈时,函数为增函数.令 y′<0,即 3ax2+2bx<0,∴x<-,或 x>0.∴在,(0,+∞)上时,函数为减函数.2