高中数学 专题1.3.1 函数的单调性与导数测试（含解析）新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

函数的单调性与导数（时间：25 分，满分 50 分） 班级 姓名 得分 1．（5 分）函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中 a，b，c 为实数，当 a2－3b<0 时，f(x)是( )A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数【答案】 A2．（5 分）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A．y＝sin x B．y＝xe2C．y＝x3－x D．y＝ln x－x【答案】 B【解析】 显然 y＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除 A；对于函数 y＝xe2，因 e2为大于零的常数，不用求导就知 y＝xe2在(0，＋∞)内为单调增函数；对于 C，y′＝3x2－1＝3(x＋)(x－)，故函数在(－∞，－)，(，＋∞)上为单调增函数，在(－，)上为单调减函数；对于 D，y′＝－1 (x>0)．故函数在(1，＋∞) 上为单调减函数，在(0,1)上为单调增函数．故 选 B.3．（5 分）如果函数 f(x)的图象如图，那么导函数 y＝f′(x)的图象可能是( )【答案】 A【解析】 由 f(x)与 f′(x)关系可选 A.4．（5 分）设 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是( )A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<01【答案】 D5.（5 分）函数 y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( )A.和B.和C.和D.和【答案】 A【解析】 y′＝xcosx，当－π0，当 00，∴y′＝xcosx>0. 6．（5 分）已知 y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3 在 R 上不是单调增函数，则 b 的范围为________．【答案】 b<－1 或 b>2【解析】 若 y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0 恒成立，则 Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意 b＜－1 或 b＞2.7．（5 分）若函数 y＝x3－ax2＋4 在(0,2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是____________．【答案】 [3，＋∞)【解析】 y′＝3x2－2ax，由题意知 3x2－2ax<0 在区间(0,2)内恒成立，即 a>x 在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.8．（5 分）若三次函数 f(x)＝ax3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则 a 的取值范围是________．【答案】 (0，＋∞)9．（5 分）已知函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，试画出函数 y＝f(x)的大致图象． 【解析】 由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x<－2 或 x>2 时，f′(x)<0，－20，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数 y＝f(x)的图象大致如右： 10．（5 分已知函数 y＝ax 与 y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数 y＝ax3＋bx2＋5 的单调区间．【解析】 ∵函数 y＝ax 与 y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0.由 y＝ax3＋bx2＋5 得 y′ ＝3ax2＋2bx.令 y′＞0，得 3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.∴当 x∈时，函数为增函数．令 y′＜0，即 3ax2＋2bx＜0，∴x＜－，或 x＞0.∴在，(0，＋∞)上时，函数为减函数．2