第 1 页 共 3 页找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点． 对于二面角方面的问题，学生往往无从下手， 他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例 1 在 60 的二面角-- a的两个面内，分别有A 和 B 两点．已知A和 B 到棱的距离分别为2 和 4，且线段10AB，试求：（1）直线 AB 与棱 a 所构成的角的正弦值；（2）直线 AB 与平面所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面内作aAD；在平面内作 BE，EBCD //，连结 BC 、AC ．可以证明aCD，则由二面角的平面角的定义，可知ADC 为二面角-- a的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例 2 如图，在平面内有一条直线AC 与平面成 30 ， AC 与棱 BD 成 45 ，求平面与平面的二面角的大小．分析： 找二面角的平面角，可过A 作BDAF； AE平面，连结 FE ．由三垂线定理可证EFBD，则AFE 为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足． 应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2 ）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BDAF”、“连结 EF ”、“证明BDEF”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例 3 如图 1，已知 P 为-- CD内的一点， PA于 A 点， PB于 B 点，如果nAPB，试求二面角--CD的平面角．图 1 图 2 第 2 页 共 3 页分析：CDCDPBPBCDPAPA平面 PAB．因此只要把平面PAB 与平面、的交线画出来即可．证明AEB 为-- CD的平面角，nAEB180（如图 2 ）．注意：这种类型的题，如果过A 作CDAE，垂足为 E ，连结 EB ，我们还必须证明CDEB，及 AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦．例 4 已知斜三棱柱111-CBAABC中，平面1AB 与平面1AC 构成的二面角的平面角为30 ，平面1AB 与平面1BC 构成的二面角为70 ．试求平面1AC 与平面1BC 构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF ，...
