1 初中数学中求最值的几种常见方法 仪陇县实验学校 李洪泉 在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强，要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。 一 、根据绝对值的几何意义求最值 实数的绝对值具有非负性，0a ，即 a 的最小值为 0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。 例1：已知13Mxx ，则M 的最小值是 。 【思路点拨】用分类讨论法求出13xx 的最小值是 4,此时 31x 。如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点 1 和点 3 的距离之和为最短。显然,若3x ,距离之和为[1( 3)] 2( 3)4x ;若31x ,距离之和为1 ( 3)4 ;若1x ,距离之和为[1( 3)] 2(1)4x 。所以 , 当31x 时,距离之和最短,最小值为 4。故 M 的最小值为 4。 二 、利用配 方法求最值 完 全 平 方式 具有非负性，即2()0ab。一个代数式 若能配 方成2()m abk的形 式 ，则这个代数式 的最小值就为k 。 例2：设,a b 为实数，求222aabbab的最小值。 【思路点拨】一是将 原 式 直 接配 方成 与,a b 的完 全 平 方式 有关 的式 子 可 以 求出最小值。二 是引 入 参 数设222aabbabt，将 等式 整 理 成 关 于 a 的二 次 方程 ，运 用配 方法利用判 别 式 求最值。 解：(方法一) 配 方得 ： 当10,10,2bab 即0,1ab时，上式 中不等号 的等式 成 立 ，故 所求的最小值222222222(1)21331()242413()(1)1124aabbabababbbabbbab 2 为1 。 （方法二）令222aabbabt，整理得22(1 )(2)0ababbt，由题可知此关于a 的二次方程有实数解， 当1b 时，上式中不等号的等式成立，故t 的最小值为1 ，即原式的最小值为1 。 ...
