1 / 18一、解答题：1．在数列 {}an 中， a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (Ⅰ)设 bn＝ an2n－1，证明：数列 {}bn 是等差数列；(Ⅱ)求数列 {}an 的前 n 项的和 Sn. 【答案】(Ⅰ)因为 bn＋1－bn＝an＋12n － an2n－1＝an＋1－2an2n＝2n2n＝1 所以数列 {bn} 为等差数列(Ⅱ)因为 bn＝b1＋(n－1) ×1＝n所以 an＝n·2n－ 1所以 Sn＝1×20＋2×21＋ ⋯＋n×2n－12Sn＝1×21＋2×22＋ ⋯＋n×2n两式相减得Sn＝(n－ 1) ·2n＋1 2．在数列 { an} 中， a1＝12， an＋1＝12an＋12n＋1. (Ⅰ)设 bn＝2nan，证明：数列 { bn} 是等差数列；(Ⅱ)求数列 { an} 的前 n 项和 Sn. 【答案】(Ⅰ)由 an＋1＝12an＋12n＋1，得 2n＋1an＋1＝2nan＋1bn＋1＝ bn＋1，则{ bn} 是首项 b1＝1，公差为 1 的等差数列．故 bn＝n， an＝ n2n. (Ⅱ)Sn＝1×12＋2×122＋ 3×123＋⋯＋(n－1) × 12n－1＋n×12n12Sn＝1×122＋2×123＋ 3×124＋⋯＋(n－1) ×12n＋n× 12n＋ 1两式相减，得：12Sn＝12＋ 122＋ 123＋⋯＋ 12n－ n2n＋ 1＝12（1－ 12n）1－12－ n2n＋ 1＝1－ 12n－ n2n＋12 / 18Sn＝2－ 12n－ 1－ n2n3．数列 { an} 的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且满足 4Sn＝(an＋ 1)2(n∈N*)．(Ⅰ)证明：数列 {an} 是等差数列，并求出其通项公式an；(Ⅱ)设 bn＝an＋2an(n∈N*)，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn. 【答案】(Ⅰ)n＝1 时， 4a1＝(a1＋1)2? a21－2a1＋1＝0，即 a1＝1 n≥2时， 4an＝4Sn－4Sn－1＝(an＋1) 2－(an－1＋1)2＝ a2n－a2n－1＋2an－2an－ 1? a2n－a2n－1－2an－2an－1＝0 ? (an＋an －1)[( an－an－1)－2]＝ 0 an>0∴an－an－1＝2 故数列 {an} 是首项为 a1＝1，公差为 d＝2 的等差数列，且an＝2n－ 1(n∈N*) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn＝an＋2an＝ (2n－1)＋22n－1∴Tn＝ b1＋b2＋⋯＋bn＝(1＋21)＋(3＋23)＋⋯＋[(2n－1)＋22n－1] ＝[1 ＋3＋⋯＋(2n－1)] ＋(21＋23＋⋯＋ 22n－1) ＝n2＋2（1－22n）1－4＝22n＋13＋n2－23＝22n＋1＋3n2－234．数列 { an} 的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且满足 2Sn＝an＋1(n∈ N*)．(Ⅰ)证明：数列 {an} 是等差数列，并求出其通项公式an；(Ⅱ)设 bn＝an·2n(n∈N*)，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn. 【答案】(Ⅰ)由 2 Sn＝an＋1(n∈N*)可以得到 4Sn＝(an＋ 1)2(n∈N*) n＝1 时， 4a1...
