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初等数论第四章不定方程

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89 第四章 不定方程 本章所讨论的不定方程,是指整系数代数方程,并且限定它的解是整数。本章只讨论几类比较简单的不定方程。 第一节 一次不定方程 设 a1, a2, , an 是非零整数,b 是整数,称关于未知数x1, x2, , xn的方程 a1x1  a2x2    anxn = b (1) 是n 元一次不定方程。 若存在整数x10, x20, , xn0 满足方程(1),则称(x10, x20, , xn0)是方程(1)的解,或说 x1 = x10,x2 = x20,,xn = xn0 是方程(1)的解。 定理 1 方程(1)有解的充要条件是 (a1, a2, , an)b。 (2) 证明 记 d = (a1, a2, , an)。若方程(1)有解,设为(x1, x2, , xn)。则由 dai(1  i  n)及整除的性质容易知道式(2)成立。必要性得证。 另一方面,由第一章第三节定理 2,存在整数y1, y2, , yn 使得 a1y1  a2y2    anyn = (a1, a2, , an) = d。 因此,若式(2)成立,则)(,,,21nydbydbydb就是方程(1)的解,充分性得证。证毕。 定理 2 设 a,b,c 是整数,方程 ax  by = c (3) 若有解(x0, y0),则它的一切解具有 90 tayytbxx1010, tZ (4) 的形式,其中),(),(11babbbaaa,。 证明 容易验证,由式(4)确定的x 与y 满足方程(3)。下面证明,方程(3)的解都可写成式(4)中的形式。 设(x , y )是方程(3)的解,则由 ax 0  by 0 = ax  by = c 得到 a(x  x 0) = b(y  y 0), )(),()(),(00yybabxxbaa。 由此,以及 1),(,),()(babbaa 和第一章第三节定理4,得到|),(babx  x 0,因此存在整数t,使得 tbaayytbabxx),(),(00,。 证毕。 定理1 和定理2 说明了解方程(3)的步骤: (ⅰ) 判断方程是否有解,即(a, b)c 是否成立; (ⅱ) 利用辗转相除法求出 x 0,y 0,使得ax 0  by 0 = (a, b); (ⅲ) 写出方程(3)的解 。,,其中,,),(),(),(111110110babbbaaaccbattacyytbcxxZ 定理3 设a1, a2, , an, b 是整数,再设 (a1, a2, , an  1) = dn  1,(a1, a2, , an) = dn,则(x 1, x 2, , x n)是方程(1)的解的充分必要条件是 91 存在整数t,使得(x 1, x 2, , x n, t)是方程组 bxatdtdxaxaxannnnnn111...

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