初等数论第四章不定方程

89 第四章 不定方程 本章所讨论的不定方程，是指整系数代数方程，并且限定它的解是整数。本章只讨论几类比较简单的不定方程。 第一节 一次不定方程 设 a1, a2, , an 是非零整数，b 是整数，称关于未知数x1, x2, , xn的方程 a1x1  a2x2    anxn = b (1) 是n 元一次不定方程。 若存在整数x10, x20, , xn0 满足方程(1)，则称(x10, x20, , xn0)是方程(1)的解，或说 x1 = x10，x2 = x20，，xn = xn0 是方程(1)的解。 定理 1 方程(1)有解的充要条件是 (a1, a2, , an)b。 (2) 证明 记 d = (a1, a2, , an)。若方程(1)有解，设为(x1, x2, , xn)。则由 dai（1  i  n）及整除的性质容易知道式(2)成立。必要性得证。 另一方面，由第一章第三节定理 2，存在整数y1, y2, , yn 使得 a1y1  a2y2    anyn = (a1, a2, , an) = d。 因此，若式(2)成立，则)(,,,21nydbydbydb就是方程(1)的解，充分性得证。证毕。 定理 2 设 a，b，c 是整数，方程 ax  by = c (3) 若有解(x0, y0)，则它的一切解具有 90 tayytbxx1010， tZ (4) 的形式，其中),(),(11babbbaaa，。 证明 容易验证，由式(4)确定的x 与y 满足方程(3)。下面证明，方程(3)的解都可写成式(4)中的形式。 设(x , y )是方程(3)的解，则由 ax 0  by 0 = ax  by = c 得到 a(x  x 0) = b(y  y 0)， )(),()(),(00yybabxxbaa。 由此，以及 1),(,),()(babbaa 和第一章第三节定理4，得到|),(babx  x 0，因此存在整数t，使得 tbaayytbabxx),(),(00，。 证毕。 定理1 和定理2 说明了解方程(3)的步骤： (ⅰ) 判断方程是否有解，即(a, b)c 是否成立； (ⅱ) 利用辗转相除法求出 x 0，y 0，使得ax 0  by 0 = (a, b)； (ⅲ) 写出方程(3)的解 。，，其中，，),(),(),(111110110babbbaaaccbattacyytbcxxZ 定理3 设a1, a2, , an, b 是整数，再设 (a1, a2, , an  1) = dn  1，(a1, a2, , an) = dn，则(x 1, x 2, , x n)是方程(1)的解的充分必要条件是 91 存在整数t，使得(x 1, x 2, , x n, t)是方程组 bxatdtdxaxaxannnnnn111...