异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考． 方法一：抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标． 例1 ：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G 分别是DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线A1E 与GF 所成的角是？ 解：连 B1G，则 A1E∥B1G，知∠B1G F 就是异面直线A1E 与GF 所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF＝222222111( 2)( 3)( 5)2223B GGFB FB GGF•••＝0， 故∠B1G F＝ 练习 1 .1 ：在空间四边形ABCD 中，AD＝BC＝2，E，F 分别为AB、CD 的中点，EF＝3 ，求 AD、BC 所成角的大小． 1A1B1C1DABCDEFG 练习1.2：长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AB=BC=2cm ，AA1=4cm ，求异面直线BD1 与AD所成的角的余弦值？ 方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例2 ：设M、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE⊥AB 于E(如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A－DE－B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B，则 M、N的连线与AE 所成角的大小为多少？ ABCDEMN图1ABCDEMNG图2ABCDA1B1C1D1EF解：取AE 中点G, 连结GM、BG GM∥ED，BN∥ED，GM＝21ED，BN＝21ED． ∴ GM∥BN，且GM＝BN． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG A 的射影为B． ∴AB⊥面BCDE． ∴∠BEA＝∠BAE＝， 又 G 为中点，∴BG⊥AE． 即 MN⊥AE． ∴MN 与 AE 所成角的大小等于 90 度． 练习 2 .1 ：S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图 SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝2 ，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点．求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM，设 Q 为CM 的中点，连结QN 则 QN∥SM ∴∠QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 连结BQ，设 SC＝a，在△BQN 中 BN＝a25 NQ＝21 SM＝42 a BQ＝a414 ∴COS∠QNB＝5102222NQBNBQNQBN 练习 2 .2 ：如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中， ∠BCA＝90°，M、N 分别是 A1B1 和...
