爱森斯坦判别法是目前为止用来判断[ ]Zx 内一个多项式可约与否的最好结果。 爱森斯坦判别法 设给定 n 次本原多项式 01( )[ ](1)Z nnfxaa xa xxn 如果存在一个素数 p ，使| (0,1,...,1)ip a in，但20|,|npapa，则( )fx在[ ]Zx 内不可约。 证明：用反证法。设( )fx 在[ ]Zx 内可约，即 ( )( ) ( )fxg x h x， 其中 0101( )[ ],( )[ ].ZZmmllg xbb xb xxh xcc xc xx 这里 0d e g()d e g()gxfx。为方便计，下面式子中多项式( ),( ),( )fxg xh x的系数,,iiiabc 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。 因为nmlab c，而|npa，故|,|mlpbpc。 另一方面，0|pa ，而000ab c，故0|pb 或0|pc ；不妨设0|pb ，此时因20|pa，故0|pc。 设|(0,...,1)ipbir，但|(0)rpbrm。此时|rpa ，而 011110()rrrrrab cb cbcb c 括号中各项均含有因子 p ，故0|rpb c 。但0|,|rpbpc， p 为素数，矛盾。由此，( )fx 在[ ]Zx 内不可约。 爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。 艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。 艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式 如果存在素数 p，使得 p不整除 an ，但整除其他 ai ； p^2 不整除 a0 ， 那么 f(x) 是不可约的。 编辑本段[编辑] 例子 给了多项式 g(x) = 3x4 + 15x2 + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。 试用艾森斯坦判别法。素数 2和 3都不适合，考虑素数 p = 5。5整除x的系数 15和常数项 10，但不整除首项 3。而且 52 = 25不整除 10。所以g(x)在有理数域不可约。 有时候不能直接用判别法，或者可以代入 y = x + a后再使用。 例如考虑 h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除 x的系数 1。但把 h(x)代入为 h(x + 3) = x2 + 7x + 14，可立刻看出素数 7整除 x的系数和常数项，但 72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。 艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下： 对素数 p，以下多项式在有理数域不可约。 。 要使用艾森斯坦判别法，先作代换 x =...
