爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判别法在判断根时的条件爱森斯坦判VIP专享

爱森斯坦判别法是目前为止用来判断[ ]Zx 内一个多项式可约与否的最好结果。 爱森斯坦判别法 设给定 n 次本原多项式 01( )[ ](1)Z nnfxaa xa xxn 如果存在一个素数 p ，使| (0,1,...,1)ip a in，但20|,|npapa，则( )fx在[ ]Zx 内不可约。 证明：用反证法。设( )fx 在[ ]Zx 内可约，即 ( )( ) ( )fxg x h x， 其中 0101( )[ ],( )[ ].ZZmmllg xbb xb xxh xcc xc xx 这里 0d e g()d e g()gxfx。为方便计，下面式子中多项式( ),( ),( )fxg xh x的系数,,iiiabc 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。 因为nmlab c，而|npa，故|,|mlpbpc。 另一方面，0|pa ，而000ab c，故0|pb 或0|pc ；不妨设0|pb ，此时因20|pa，故0|pc。 设|(0,...,1)ipbir，但|(0)rpbrm。此时|rpa ，而 011110()rrrrrab cb cbcb c 括号中各项均含有因子 p ，故0|rpb c 。但0|,|rpbpc， p 为素数，矛盾。由此，( )fx 在[ ]Zx 内不可约。 爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。 艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。 艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式 如果存在素数 p，使得 p不整除 an ，但整除其他 ai ； p^2 不整除 a0 ， 那么 f(x) 是不可约的。 编辑本段[编辑] 例子 给了多项式 g(x) = 3x4 + 15x2 + 10，试确定它能否分解为有理系数多项式之积。 试用艾森斯坦判别法。素数 2和 3都不适合，考虑素数 p = 5。5整除x的系数 15和常数项 10，但不整除首项 3。而且 52 = 25不整除 10。所以g(x)在有理数域不可约。 有时候不能直接用判别法，或者可以代入 y = x + a后再使用。 例如考虑 h(x) = x2 + x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除 x的系数 1。但把 h(x)代入为 h(x + 3) = x2 + 7x + 14，可立刻看出素数 7整除 x的系数和常数项，但 72 = 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。 艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下： 对素数 p，以下多项式在有理数域不可约。 。 要使用艾森斯坦判别法，先作代换 x =...