第二章原子结构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其

第二章 原子结构与性质 §2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程 H原子和 He+、Li2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为 Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为 r，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为： rZeV024 将势能代入薛定谔方程： 得 0)(22282rZehm E 或ErZemh][22228 为了解题方便，将x、y、z变量换成极坐标变量r、θ 、φ 。 其关系： cossinrx   sinsinry  cosrz  2222zyxr 21)/(cos222zyxZ xytg/ })(sin)({2222sin1sin1212rrrr 代入薛定谔方程： 0)()(sin)(2222222228sin11sin1121rZehmrrrrrEr 2.1.2.分离变量§法： 上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。 含：)()()(),,(rRr 代入方程：并乘以Rr22 sin 移项可得：)(s)(s)(228si2sin122222VErrhudddddrdRdrdRdd左边不含r、θ ，右边不含φ ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m2 ） 222mdd, 而右边可为：（除以sinθ ） )(sin)()(sin1sin8212222ddddmhurdrdRdrdRVEr 则有： Kddddm)(sinsin1sin22 KErrZehurdrdRdrdR)()(2222821 2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ （φ ）方程的解 0222mdd 这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。 |)|(]exp[mmimAm Φ 符合波函数品优条件：连续、单值、电子边界条件（归一） 1]exp[]exp[20220*dimimdmm 21 ]exp[][21imm  α 、φ 周期变化，Φm 值不变 )2()(mm ]2exp[]exp[)]2(exp[]exp[imimimim 得： 1]2exp[im 根据Euler 公式 mimimsincos]exp[ 1)2sin()2cos(mim 故m取值必须为：)(,2,1,0量子化m 2.1.3.2.○H（θ ）方程的解。 两边乘kddddm)(sinsin1sin22 0)(sin22sinsin1kmdddd 要使方程得到收敛解，并有确定值，k必须限制（解过程...