考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

1 考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点 ( )( )xaF xf t dt  形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点： 1、在求导时，是关于 x 求导，用课本上的求导公式直接计算。 2、在求积分时，则把 x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[xa上变动。 （即在积分内的 x 作为常数，可以提到积分之外。） 关于积分上限函数的理论 定理 1 如果)(xf在],[ba上连续，则)(xf在（a，b）上可积，而)(xf可积，则xadttfxF)()(在],[ba上连续。 定理 2 如果)(xf在],[ba上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在（a，b）上可积。 定 理 3如 果)(xf在],[ba上 连 续 ， 则xadttfxF)()(在],[ba上 可 导 ， 而 且 有).(])([)(xfdttfdxdxFxa ========================================== 注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(xf作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(xf经过求导后，其导函数)(xf 甚至不一定是连续的。 （Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。 重要推论及计算公式： 推论 1 )(])([xfdttfdxdbx <变上限积分改变上下限，变号。> 推论 2 )()]([])([)(xxfdttfdxdxc <上限是复合函数的情况求导。> 2 推论3 )()]([)()]([])([)()(xxfxxfdttfdxdxx <上下限都是变的时候，用上限的减去下限的。> 题型中常见积分限函数的变形和复合情况： （1）比如 xdttftxxF0)()()( (被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.) 在求)(xF时，先将右端化为xxxxdtttfdttfxdtttfdttxf0000)()()()(的形式，再对 x 求导。分离后左边的部分要按照(uv)＇=u＇v + uv＇进行求导！（重点） （2）比如 xdtxttfxF0)()( ( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来) 在求)(xF时，先对右端的定积分做变量代换xtu（把 x 看作常数），此时，dudt ，0t时，xu；xt 时，0u，这样，)(xF就化成了以u 作...