上半连续和下半连续教案

函数的上、下半连续性 一、上、下半连续性的定义 设函数 f x 在集合E 上有定义，0xE为E 的一个聚点。 f x 在0x处连续，用 语言描述，即：0,0, 当0,xE xx时，有    00f xf xf x  A 若将此条件减弱，在不等式 A 中，只使用其中的一个不等式，那么就得到半连续。 定义 设 f x 在0x 及其附近有定义，所谓 f x 在0x 处上半连续，是指：0,0, 当0,xE xx时，恒有  0f xf x 。  f x 在0x 处下半连续，是指：0,0, 当0,xE xx时，恒有  0f xf x 。 推论  f x 在0x 及其附近有定义，则 f x 在0x 处连续的充要条件是， f x 在0x 处既上半连续又下半连续。 例 1 Dirichlet 函数 1,0,\xQD xxR Q  ① 在有理点处上半连续，但不下半连续。 ② 在无理点的情况恰恰相反。 例 2 考虑函数  ,f xxD xxR。 ① 当0x  时，跟 D x 的结论一样， ② 当0x  时，跟  D x 的结论相反， ③ 当0x  时，既上半连续又下半连续，因而在0x  处连续。 例3 Riemann 函数  1 ,00,pxqqqR xx 当为既约整数，当无理数 ① 在无理点处既上半连续又下半连续。 ② 在有理点处上半连续，但不下半连续。 二、上、下半连续性的等价描述 定理 1 设  f x 在集合 E 上有定义，0x 为E 的一个聚点且0xE。则如下断言等价：  1 、  f x 在0x 处上半连续（即：0,0, 当0,xE xx时，恒有   0f xf x ）  2 、  0_____0limxxf xf x  3 、  0:,nnnxxE xx，必有  _____0limnxf xf x 证明：   12 明显，因0,0, 当0,xE xx时，有   0f xf x 对上式取极限，并注意0  的任意性，即得 2 。   23 由   0__________00limmax lim,nnnnxxnfxfxxE xxxx，   000limmin lim,nnnnxxnf xf xxE xxxx 直接可得。   ...