椭圆离心率问题

一、椭圆离心率的 1、运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B，P、Q 在椭圆上，PD⊥L 于D，QF⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e，则①e=｜PF｜｜PD｜②e=｜QF｜｜BF｜③e=｜AO｜｜BO｜④e=｜AF｜｜BA｜ ⑤e=｜FO｜｜AO｜ 评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤； ｜AO｜=a,｜BO｜= a2 c ∴有③。 题目1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 思路：A 点在椭圆外，找 a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点B，连接 BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解： ｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+ 3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离B A F2 F1 D B F OA P Q 心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变形 2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解： ｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴ ｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 b= a2-c2 ∴a2=5c2 e=55 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目 2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求 e? 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=a2+b2 F B A O B A F2 F1 P O OP F1 F2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2 e=-1- 52(舍去) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5 2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类 e=5-12的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准...