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椭圆离心率问题

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一、椭圆离心率的 1、运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目:如图,O 为椭圆的中心,F 为焦点,A 为顶点,准线L 交OA 于B,P、Q 在椭圆上,PD⊥L 于D,QF⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e,则①e=|PF||PD|②e=|QF||BF|③e=|AO||BO|④e=|AF||BA| ⑤e=|FO||AO| 评:AQP 为椭圆上的点,根据椭圆的第二定义得,①②④。 |AO|=a,|OF|=c,∴有⑤; |AO|=a,|BO|= a2 c ∴有③。 题目1:椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ,以 F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的两边,则椭圆的离心率e? 思路:A 点在椭圆外,找 a、b、c 的关系应借助椭圆,所以取 AF2 的中点B,连接 BF1 ,把已知条件放在椭圆内,构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解: |F1F2|=2c |BF1|=c |BF2|=3c c+ 3c=2a ∴e= c a = 3-1 变形1:椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ,点P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形,求椭圆离B A F2 F1 D B F OA P Q 心率? 解:连接PF2 ,则|OF2|=|OF1|=|OP|,∠F1PF2 =90°图形如上图,e=3-1 变形 2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,AB 为椭圆的顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1 ⊥X 轴,PF2 ∥AB,求椭圆离心率? 解: |PF1|= b2 a |F2 F1|=2c |OB|=b |OA|=a PF2 ∥AB ∴ |PF1| |F2 F1|= ba 又 b= a2-c2 ∴a2=5c2 e=55 点评:以上题目,构造焦点三角形,通过各边的几何意义及关系,推导有关 a 与 c 的 方程式,推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目 2:椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0),A 是左顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,∠ABF=90°,求 e? 解:|AO|=a |OF|=c |BF|=a |AB|=a2+b2 F B A O B A F2 F1 P O OP F1 F2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2 e=-1- 52(舍去) 变形:椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0),e=-1+ 5 2, A 是左顶点,F 是右焦点,B 是短轴的一个顶点,求∠ABF? 点评:此题是上一题的条件与结论的互换,解题中分析各边,由余弦定理解决角的问题。答案:90° 引申:此类 e=5-12的椭圆为优美椭圆。 性质:1、∠ABF=90°2、假设下端点为 B1 ,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准...

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