欧几里得空间

1 第九章 欧几里得空间 §1定义与基本性质 教学目的：理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵 . 教学重点：欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质 . 教学难点：理解欧几里得空间的定义. 教学内容： 一、向量的内积 定义 1 设V 是实数域 R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(,它具有以下性质: 1) ),(),(; 2) ),(),(kk; 3) ),(),(),(; 4) 0),(,当且仅当0时, 0),( 这里,,是V 任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 例 1 在线性空间nR 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121nnbbbaaa, 定义内积 .),(2211nnbababa (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间. 在3n时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例 2 在nR 里, 对于向量 2 ),,,(,),,,(2121nnbbbaaa, 定义内积 .2),(2211nnbnababa 则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间., 对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例3 在闭区间],[ba上的所有实连续函数所成的空间),(baC中,对于函数)(),(xgxf定义内积 badxxgxfxgxf)()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(baC构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间nxRxR][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H 是一切平方和收敛的实数列 1221),,,,(nnnxxxx 所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2kkkk. ),(),(),(),(),(),()3 定义2 非负实数),(称为向量 的长度，记为 . 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： ||kk (3) 这里VRk,. 长度为1 的向量叫做单位向量.如果,0由(3)式，向量 3 1 就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，得到一个与 成比例的单位向量，通常称为把...