无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列,称为无穷级数,称为一般项；若部分和 数列有极限，即，称级数收敛，否则称为发散.2. 性质① 设常数，则与有相同的敛散性；② 设有两个级数与，若,，则;若收敛，发散,则发散；若，均发散，则敛散性不确定；③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数收敛,则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；② 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤ 级数收敛的必要条件：；注:① 级数收敛的必要条件，常用判别级数发散;② 若,则未必收敛；③ 若发散，则未必成立．二、常数项级数审敛法1. 正项级数及其审敛法① 定义：若,则称为正项级数。② 审敛法:（i）充要条件：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。（ii）比较审敛法：设①与②都是正项级数,且，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散。A. 若②收敛,且存在自然数,使得当时有成立,则①收敛；若②发散，且存在自然数,使得当时有成立,则①发散；B. 设为正项级数，若有使得，则收敛；若,则发散。C. 极限形式：设①与②都是正项级数，若，则 与有相同的敛散性。注:常用的比较级数:① 几何级数：;② 级数：；③ 调和级数：发散．（iii）比值判别法(达郎贝尔判别法）设是正项级数，若①，则收敛；②,则发散．注：若，或，推不出级数的敛散。例与，虽然,，但发散，而收敛。（iv）根值判别法（柯西判别法)设是正项级数,，若，级数收敛，若则级数发散．（v)极限审敛法：设，且,则①且，则级数发散;② 假如,而，则其收敛．（书上P317-2—（1）)注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比(根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．2。交错级数及其审敛法① 定义：设，则称为交错级数。② 审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数，若且,则收敛。注：比较与的大小的方法有三种:① 比值法，即考察是否小于 1;② 差值法，即考察是否大于 0；③ 由找出一个连续可导函数,使考察是否小于 0．3.一般项级数的判别法:① 若绝对收敛，则收敛。② 若用比值法或根值法判定发散,则必发散.三、幂级数1. 定义:称为幂级数.2. 收敛性① 阿贝尔定理：设幂级数在处收敛，则其在满足的所有处绝对收敛．反之,若幂级数在处发散，则其在满足的所有处发散．② 收敛半径（i）定义：若幂级数在点收敛,...
