一、选择题9．（2024·长沙）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数是【 】A．20°B．30° C．45° D．60°【答案】B【解析】在△ABC 中， ∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知 MN 为 AB 的中垂线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故本题选：B．8． （2024·烟台）已知，以 O 为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA，OB 于点 M，N，分别以M，N 为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点 P，以 OP 为边作，则的度数为（ ）．A． B． C．或 D．或 【答案】D【 解 析 】 由 题 目 可 以 得 出 OP 为的 平 分 线 ， 所 以， 又 因 为，考虑到点 C 有可能在内也有可能在内，所以当点 C 在内时，当点 C 在内时．2.3.4.39.二、填空题1.2.3.4.5.6.239.三、解答题22．（2024 山东省德州市，22，12）如图，∠BPD＝120°，点 A、C 分别在射线 PB、PD 上，∠PAC＝30°，AC＝2．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在 A、C 两点分别与射线 PB 和 PD 相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；（3）求所得的劣弧与线段 PA、PC 围成的封闭图形的面积．【解题过程】（1）如图，（2）已知：如图，∠BPD＝120°，点 A、C 分别在射线 PB、PD 上，∠PAC＝30°，AC＝2，过 A、C 分别作 PB、PD 的垂线，它们相交于 O，以 OA 为半径作⊙O，OA⊥PB，求证：PB、PC 为⊙O 的切线；证明： ∠BPD＝120°，PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，连接 OP， OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°， OP＝OP，Rt∴△PAORt△△PCO（HL）∴OA＝OC，∴PB、PC 为⊙O 的切线；（3） ∠OAP＝∠OCP＝90°30°﹣＝60°，∴△OAC 为等边三角形，∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°， OP 平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝×2＝2，∴劣弧 AC 与线段 PA、PC 围成的封闭图形的面积＝S 四边形 APCO﹣S 扇形 AOC＝2××2×2﹣＝42﹣ π．20．(2024·泰州)如图, ABC△中,C∠ ＝90º, AC＝4, BC＝8.(1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线; (保留作图痕迹,不要求写作法)(2)若(1)中所作的垂直平分线交 BC 于点 D,求 BD 的长.CBA第 2...
