灯塔群及其性质分析研究 数学与应用数学专业VIP免费

目录第一章灯塔群的生成元┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(2)第1.1节群的乘法┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(2)第1.2节群的生成元┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(2)第二章灯塔群的表出┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(3)第三章L2同构于一个矩阵群┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(3)第四章字长的计算┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(5)第4.1节群元素的有效描述┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(5)第4.2节有效路径┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(6)第4.3节字长的计算┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(6)第五章灯塔群和凯莱图┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(8)第5.1节Diestel–Leader图┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(8)第5.2节作为L2中元素的DL2(2)中的顶点┈┈┈┈┈┈┈┈(10)第5.3节DL2(2)是L2的一个凯莱图┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(11)第5.4节在凯莱图上移动┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(12)摘要Thenameofthegroupcomesfromviewingthegroupasactingonadoublyinfinitesequenceofstreetlamps…,-l2,-l1,l1,l2,l3,…eachofwhichmaybeonoroff,andalamplighterstandingatsomelamplk.Anequivalentdescriptionforthis,calledthebasegroupBofLisB=⨁−∞∞ℤ2,aninfinitedirectsumofcopiesofthecyclicgroupℤ2where0correspondstoalightthatisoff,and1correspondstoalightthatison,andthedirectsumisusedtoensurethatonlyfinitelymanylightsareonatonce.Anelementofℤgivesthepositionofthelamplighter,andBtoencodewhichbulbsareilluminated.Therearetwogeneratorsforthegroup:thegeneratortincrementsk,sothatthelamplightermovestothenextlamp(t-1decrementsk),whilethegeneratorameansthatthestateoflamplkischanged(fromofftoonorfromontooff).灯塔群的名字取自这个群的元素是作用于无限多个街灯…,-l2,-l1,l1,l2,l3,…，他们中的一些是亮着或者灭的，然后一个灯夫站在某个街灯lk旁边．有一个等价描述，就是L的基群B写成这种形式B=⨁−∞∞ℤ2，是循环群ℤ2的一个无限直和，式子中0对应此处灯是灭的，1对应灯是亮着的，而这直和是用来确保只有有限多个灯是亮着的．而一个整数集ℤ的元素给出了灯夫的位置，同时B确定哪些灯是亮着的．这个群有两个生成元：t增加了k，那么灯夫就向正数的街灯那侧移动(t-1指的是减少k，自然是向负数侧移动)，而生成元a指的就是某个位置上的街灯lk的状态改变了(关闭了或者开启了)．关键词：生成元、表出、同构、字长、凯莱图前言灯塔群是一个非常有趣的群，可以形象的和一条无限长的街道联系起来，街道两旁排列着均匀的路灯柱，一个灯夫在街道上行走，点亮或者熄灭某些灯泡．我们将这以数学的形式表现出来，就是灯塔群L2．它作为一个群还可以和凯莱图联系起来，将图上的点与它的元素对应，有很多国内外专家学者从不同的角度入手研究过灯塔群，本文对国外相关文献进行总结归纳后，描述它的部分重要性质．我们先看一个它的元素的例子：例1设g∈L2，g=({-6,-1,4,5,6},-2),它的对应灯塔图如图1：图1(来自文献4)把它转化成由生成集{a,t}表示的形式，则为g=t4atatat−7at−5at4，上图类似数轴的这个部分我们称为灯台，以后讨论某些性质的时候我们需要在灯台上进行操作．第一章灯塔群的生成元1.1群的乘法对于灯塔群L2，它的单位元是灯夫位置在0且没有灯泡被点亮的那个元素，即{∅，0}，同时要研究一个群，我们还要给出这个群上的乘法．定义1.1：假设S是一个集合，我们先约定a+S={a+b|b∈S}．那么对于一个元素g1={S1,a}∈L2和g2={S2,b}∈L2,在群L2上做乘法，那么就有：g1∙g2={S1∪(a+S2)−S1∩(a+S2),a+b}这就是一般形式下灯塔群中元素做乘法的形式，当然这比较抽象，在有了生成元之后我们可以更好的去理解这个乘法．1.2群的生成元为了得到一个群L2，我们需要两个基础的元素．也就是说，我们需要让灯夫能够在两个方向均可以移动一个单位，同时他也可以改变他所在位置的灯泡的状态，即点亮或者熄灭它．定义1.2：L2有两个生成元．其中一个生成元t∈L2，它代表灯夫向自己所在位置的右侧移动一个单位，反过来t−1∈L2表示的就是灯夫往...