2.10 函数的综合应用典例精析题型一 抽象函数的计算或证明【例 1】已知函数 f (x)对于任何实数 x，y 都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证： f(x)是偶函数.【证明】因为对于任何实数 x、y 都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，令 x＝y＝0，则 f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以 2f(0)＝2f(0)f(0)，因为 f(0)≠0，所以 f(0)＝1，令 x＝0，y＝x，则 f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f(x)，所以 f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以 f(－x)＝f(x)，故 f(x)是偶函数.【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求.【变式训练 1】已知函数 f(x)对任意的 x，y 有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且 f(x)的定义域为 R，请判定 f(x)的奇偶性.【解析】取 x＝y＝0，得 f(0)＝0.取 y＝－x，得 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数.题型二 函数与导数的综合应用【例 2】已知函数 f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.(1)若函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为 4，求实数 a 的值；(2)若函数 g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数 a 的取值范围.【解析】由题意得 g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，所以 a＝3.(2)方法一：①当 g(－1)＝－a－1＝0，即 a＝－1 时，g(x)＝f′(x)的零点 x＝－∈(－1,1)；② 当 g(1)＝7－a＝0，即 a＝7时，f′(x)的零点 x＝－∉(－1,1)，不合题意；③ 当 g(1)g(－1)＜0 时，－1＜a＜7；当 0)1(,0)1(,1321,0)34(4gga时，－≤a＜－1.综上所述，a∈[－，7).方法二：g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于 3x2＋4x＝a 在区间(－1,1)上有解，也等价于直线 y＝a 与曲线 y＝3x2＋4x，x∈(－1,1)有公共点，作图可得 a∈[－，7).方法三：等价于当 x∈(－1,1)时，求值域：a＝3x2＋4x＝3(x＋)2－∈[－，7).【变式训练 2】二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与坐标轴交于(－1,0)和(0，－1)，且其顶点在第四象限，则 a＋b＋c 的取值范围为 .【解析】由已知 c＝－1，a－b＋c＝0，所以 a＋b＋c＝2a－2.1又 02,0aba⇒0＜a＜1，所以 a＋b＋c∈(－2,0).题型三 化归求函数的最大值和最小值问题【例 3】某个体经营者把开始 6 个月试销售 A、B 两种商品的逐月投资与所获...
