§5.3 平面向量的数量积2014 高考会这样考 1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做 1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1． 平面向量的数量积已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫做 a 和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2． 平面向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．3． 平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝；(4)cos θ＝；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4． 平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ 为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5． 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2，由此得到(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x 2 ＋ y 2 或|a|＝.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A、B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝.(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .[难点正本 疑点清源]1． 向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2． a·b>0 是两个向量 a·b 夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则 a·b>0，而a，b 夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC 中，AB、BC的夹角与角 B 的关系．3． 计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．11． 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝___.答案 －3解析 a·b＝|a||b|cos 135°＝2×3×＝－3.2． 已知 a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且 3a＋2b 与 λa－b 垂直，则实数 λ 的值为________．答案 解析 由 a⊥b 知...
