第十五节 用导数解决生活中的优化问题 知识梳理 优化问题：社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关求利润________、用料________、效率________等问题通常称为________问题．利用导 数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的________，写出实际问题中______，根据实际问题确定定义域；(2)求函数 y＝f(x)的______，解 方程________，得出定义域内的实根，确定________；(3)比较函数在________和_ _______的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值；(4)还原到实际问题中作答． 基础自测1．以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A．10 B．15 C．25 D．50答案：C2．某产品的销售收入 y1 (万元)是产品 x(千台)的函数，y1＝17x2，生产总成本 y2(万元)也是 x 的函数，y2＝2 x 3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )A．9 千台 B．8 千台C．6 千台 D．3 千台解析：f(x)＝y1－y2＝－2x3＋18x2，f′(x)＝－6x2＋36x＝0，x＝6，故选 C.答案：C3．一个物体的运动方程为 s＝1－t＋t2，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3 秒末的瞬时速度是( )A．7 米/秒 B．6 米/秒C．5 米/秒 D ．8 米/秒解析：由导数的物理意义知，位移的 导数是瞬时速度，由 s＝1－t＋t2求导得 v＝s′＝－1＋2t，当 t＝3 时，v＝5.故选 C.答案：C 4.当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的底面半径 _________时，才能使饮料罐的体积最大.1会利用导数解决某些实际问题解析：设圆柱形金属饮料罐的底面半径为 R，高为 h.S＝2πRh＋2πR2⇒ h＝ ⇒V(R)＝πR2＝(S－2πR2)R＝SR－πR3 ⇒V′(R)＝S－3πR2，令 V′(R)＝0，∴R＝ .因 V(R)只有一个极值点，故它就是最大值点．答案： 1．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系 M(t)＝M02－，其中 M0为 t＝0 时铯 137 的含量．已知 t＝30 时，铯137 的含量的变化率是－10ln 2(单位：太贝克/年)，则 M(60)＝( )A．5 太贝克 B．75ln 2 太贝克C．150ln 2 太贝克 D．150 太贝克解析：因为 M′(t)＝－ln 2×M02－，则 M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10ln 2，解得 M0＝600，所以 M(t)＝600×2－，那么 ...
